Denklem, bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenin sadece belirli değerleri için sağlanan eşitliklerdir. Eşitliğin her iki tarafının dengede olduğu bir terazi metaforu ile açıklanabilir. Bir denklemi çözmek, bilinmeyenin denklemi sağlayan değerini (çözümünü) bulmaktır. Eğer hiçbir değer denklemi sağlamıyorsa, çözüm kümesi boş kümedir.
Denklemlerin çözümünde eşitliği bozmayan temel işlemler kullanılır: Her iki tarafa aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak, her iki tarafı aynı sayı ile çarpmak veya sıfırdan farklı bir sayıya bölmek. Bu işlemler, terazinin dengesini korumakla eşdeğerdir. Karmaşık görünen denklemlerde, önce terimler toplanıp sadeleştirilerek denklem basitleştirilir.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, a ve b gerçel sayılar ve a sıfırdan farklı olmak üzere 'ax + b = 0' formundadır. Bu denklemlerin çözümü, bilinmeyeni yalnız bırakma prensibine dayanır. 'ax = -b' haline getirilen denklemde, her iki taraf 'a'ya bölünerek 'x = -b/a' sonucu elde edilir.
İkinci dereceden denklemler, 'ax² + bx + c = 0' (a≠0) formundadır. Bu denklemlerin çözümünde Harezmî'nin geometrik 'kareye tamamlama' yöntemi tarihsel bir öneme sahiptir. Bu yöntemde, denklemdeki terimler bir karenin alanını oluşturacak şekilde geometrik parçalara ayrılır ve eksik kısımlar tamamlanarak tam kare ifade elde edilir.
Genel çözüm için diskriminant (Δ = b² - 4ac) kullanılır. Δ'nın işaretine göre denklemin kök durumu belirlenir: Δ > 0 ise birbirinden farklı iki gerçel kök vardır; Δ = 0 ise birbirine eşit iki kök (tek kök) vardır; Δ < 0 ise gerçel sayılar kümesinde çözüm yoktur.
Kök formülleri, x = (-b ± √Δ) / 2a şeklindedir. Bu formül, her türlü ikinci dereceden denklemin çözümünü sağlar. Negatif sayıların gerçel sayılar kümesinde karekökü olmadığı için, Δ < 0 durumunda denklemin kökü bulunamaz.
Eşitsizlikler, terazinin dengesinin bozulduğu durumları temsil eder. 'ax + b > 0', 'ax + b < 0', 'ax + b ≥ 0' veya 'ax + b ≤ 0' şeklinde ifade edilirler. Eşitsizliklerin çözümünde denklemlere benzer kurallar geçerlidir, ancak kritik bir fark vardır: Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, eşitsizlik yön değiştirir.
Çözüm kümesi bulunurken, bilinmeyen yalnız bırakılır. Örneğin, -5x + 3 > 0 eşitsizliğinde, her iki taraftan 3 çıkarılır ve -5'e bölünürken eşitsizlik yön değiştirerek 'x < 3/5' sonucuna ulaşılır.
Eşitsizliklerin çözüm kümeleri sayı doğrusu üzerinde aralıklar olarak gösterilir. Çözüm kümesi, eşitsizliği sağlayan tüm x değerlerini kapsayan bir aralıktır.
İkinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için önce ifadeyi sıfıra eşitleyerek kökler bulunur. Bu kökler sayı doğrusunu aralıklara ayırır. İfade, bu aralıkların her birinde ya hep pozitif ya da hep negatif değer alır.
İşaret incelemesi yapmak için, ayrılan aralıklardan birer test değeri seçilir ve ifade yerine yazılarak işaret belirlenir. Eğer ifade köke sahip değilse, tüm sayı doğrusunda aynı işareti korur.
Eşitsizliğin çözüm kümesi, ifadenin istenen işareti (pozitif veya negatif) aldığı aralıkların birleşimidir. Köklerin dahil edilip edilmeyeceği, eşitsizliğin 'büyük/küçük' veya 'büyük eşit/küçük eşit' olmasına bağlıdır.