Ünite 6: Asal Sayılar ve Modüler Aritmetik

Eratosthenes'in Bilimsel Katkıları

M.Ö. 276 - 194 yılları arasında yaşamış olan Yunanlı matematikçi, coğrafyacı ve astronom Eratosthenes, yerkürenin çevresini ilk hesaplayan kişidir. Aynı zamanda güneşin dünyaya olan uzaklığını hesaplamış, döneminin dünya haritasını çıkarmış ve asal sayıları bulmaya yarayan Eratosthenes Kalburu metodunu geliştirmiştir.

Öklid ve Asal Sayıların Sonsuzluğu

M.Ö. 300 civarında yaşamış ve 'Geometrinin Babası' olarak anılan Yunanlı matematikçi Öklid, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu matematiksel olarak ispatlamıştır. Öklid'in 13 kitaptan oluşan 'Elemanlar' adlı eseri, 20. yüzyılın başlarına kadar matematik öğretiminde temel kaynak olarak kullanılmıştır.

Bilinen En Büyük Basamaklı Asal Sayı

2008 yılında Los Angeles California Üniversitesi (UCLA) matematik bölümünden Edson Smith ve ekibi tarafından, güçlü bilgisayarların yardımıyla 12.978.189 basamaklı, döneminin bilinen en büyük asal sayısı keşfedilmiştir.

Dr. Martin Nowak ve Mersenne Asalı

Almanya'da göz uzmanı olan ve amatör olarak matematikle ilgilenen Dr. Martin Nowak, 2005 yılında kişisel bilgisayarında 50 gün çalışarak 7.816.230 rakamdan oluşan 2^25964951 - 1 sayısını bulmuştur. Bu sayı, Mersenne asallarının 42.cisidir.

Anahtar Kavramlar

Asal Sayı1'den büyük olan ve sadece 1'e ve kendisine tam bölünebilen doğal sayılara denir. Örneğin, 2, 3, 5 ve 7 sayıları sadece kendilerine ve 1'e bölünebildikleri için birer asal sayıdır.

Bileşik Sayı1'den büyük olan ve asal olmayan, yani kendisinden küçük en az iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen tam sayılardır. Örneğin, 12 sayısı 3 * 4 şeklinde yazılabildiği için bileşik bir sayıdır.

Asal Bölen (Asal Çarpan)Verilen bir tam sayıyı kalansız bölen asal sayılardan her birine denir. Örneğin, 12 sayısının asal bölenleri 2 ve 3 sayılarıdır.

Aritmetiğin Temel Teoremi1'den büyük her doğal sayının, asal sayıların çarpımı şeklinde çarpanların sırası hariç tek bir biçimde yazılabileceğini belirten teoremdir. Örneğin, 36 sayısı sadece 2^2 * 3^2 şeklinde asal çarpanlarına ayrılabilir.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)İki veya daha fazla doğal sayının her ikisini de tam bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin, ebob(8, 12) = 4 değeridir.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)İki veya daha fazla doğal sayının her ikisine de tam bölünen pozitif ortak katlarının en küçüğüdür. Örneğin, ekok(8, 12) = 24 değeridir.

Aralarında Asal Sayılar1'den başka ortak pozitif böleni olmayan, yani EBOB'ları 1'e eşit olan sayılardır. Örneğin, 14 ve 15 sayılarının ortak böleni sadece 1 olduğundan aralarında asaldır.

Eratosthenes KalburuBelirli bir sayıya kadar olan asal sayıları bulmak için, sırasıyla asalların katlarının elenmesi esasına dayanan antik ve sistemli bir yöntemdir. 100'e kadar olan asalları bulmak için bu kalbur kullanılır.

Modüler AritmetikBelirli bir n modülüne göre tam sayıların bölünmesinden elde edilen kalanlarla yapılan aritmetik işlemler bütünüdür. Günlük hayattaki saat ve gün döngüleri modüler aritmetiğe dayanır.

Denklik (Modüler)İki tam sayının seçilen bir n modülüne bölündüğünde aynı kalanı vermesi durumudur. Örneğin, 17 ve 3 sayıları 7'ye bölündüğünde aynı kalanı verdiğinden 17 ≡ 3 (mod 7) şeklinde denktirler.

Yansıma ÖzelliğiModüler aritmetikte her tam sayının seçilen herhangi bir modüle göre kendisine denk olduğunu belirten özelliktir. Örneğin, 3 ≡ 3 (mod 4) ifadesi bu özelliği gösterir.

Simetri ÖzelliğiModüler aritmetikte a sayısı b sayısına denk ise b sayısının da a sayısına denk olduğunu ifade eden özelliktir. Örneğin, 3 ≡ 23 (mod 5) ise 23 ≡ 3 (mod 5) denklik ilişkisi korunur.

Geçişme ÖzelliğiModüler aritmetikte a sayısı b'ye, b sayısı da c'ye denk ise a sayısının doğrudan c'ye denk olduğunu belirten özelliktir. Örneğin, 2 ≡ 12 (mod 5) ve 12 ≡ 22 (mod 5) ise 2 ≡ 22 (mod 5) olur.

Kalan (Modüler)Bir m tam sayısının sıfırdan farklı bir n doğal sayısına bölünmesiyle elde edilen ve 0 ile n-1 arasında değer alan tam sayıdır. Örneğin, 40 sayısının 7'ye bölünmesiyle elde edilen kalan 5'tir.

Doğrusal Denklikx bilinmeyen olmak üzere a * x ≡ b (mod n) biçimindeki bir bilinmeyenli modüler denklemlerdir. Örneğin, 3 * x ≡ 2 (mod 4) bir doğrusal denkliktir.

KriptolojiŞifreleme (kriptografi) ve şifre çözme (kriptanaliz) yöntemlerini bir arada inceleyen, gizli haberleşme ve bilgi güvenliğini konu alan bilim dalıdır.

KriptografiBilgilerin yetkisiz kişilerin eline geçmesini engellemek amacıyla matematiksel yöntemler kullanılarak şifrelenmesi ve güvenli hale getirilmesi sürecidir.

KriptanalizŞifreleme anahtarını veya yöntemini bilmeden, şifrelenmiş metinler üzerinden orijinal veriyi veya şifreleme anahtarını elde etmeye çalışan analiz yöntemleridir.

Sezar ŞifresiAlfabedeki her harfin belirlenen sabit bir sayı kadar ileriye veya geriye kaydırılması esasına dayanan, tarihin en eski şifreleme yöntemlerinden biridir. Örneğin, 3 adım kaydırma ile 'ANADOLU' kelimesi 'ÇPÇGROY' olur.

ModülModüler aritmetikte bölme işleminin esas alındığı, sıfırdan farklı pozitif tam sayı değerindeki bölendir. Örneğin, a ≡ b (mod n) ifadesindeki n sayısı modüldür.

Diğer Önemli Bilgiler

Johann Carl Friedrich Gauss

1777 - 1855 yılları arasında yaşamış ve 'Matematikçilerin Prensi' olarak bilinen Alman matematikçi Gauss, modüler aritmetiğin gelişmesine büyük katkı sağlamıştır. Henüz 21 yaşındayken sayılar kuramının en önemli eserlerinden biri olan 'Disquisitiones Arithmeticae'yi yazmıştır.

Sezar Şifrelemesi ve Tarihi Kullanımı

Romalı komutan Julius Caesar (M.Ö. 100 - M.Ö. 44), askeri ve siyasi yazışmalarında güvenliği sağlamak amacıyla alfabedeki harfleri 3 adım sağa kaydırarak şifreli mesajlar oluşturmuştur. Bu yöntem tarihteki ilk simetrik şifreleme örneklerinden biridir.

ATM ve Dijital Şifrelemede Asal Sayılar

Günümüzde bankacılık işlemlerinde ve ATM'lerden para çekme süreçlerinde kullanılan şifreleme sistemleri, çok büyük basamaklı iki asal sayının çarpımını çözmenin bilgisayarlar için bile çok uzun zaman alması ilkesine dayanır.

1 Sayısının Asallıktan Çıkarılması

20. yüzyılın ortalarına kadar bazı matematikçiler tarafından asal kabul edilen 1 sayısı, Aritmetiğin Temel Teoremi'nin tek türlü çarpanlara ayırma kuralını ihlal ettiği için modern matematikte asal sayı sınıfından tamamen çıkarılmıştır.

Sezar'ın Ünlü Sözünün Şifrelenmesi

Julius Caesar'ın ünlü 'VENI, VIDI, VICI' sözü, harflerin 3 adım sağa kaydırılması yöntemiyle şifrelendiğinde 'YHQL, YLGL, YLFL' haline gelmektedir.

Kriptolojinin 1970 Öncesi Gizlilik Durumu

1970'li yıllara kadar kriptoloji bilimi halka açık bir alan olmayıp, sadece devletlerin askeri, diplomatik ve istihbarat birimleri arasında gizli haberleşmeyi yürütmek amacıyla kullanılan çok gizli bir teknik olarak saklanmıştır.

Mersenne Asal Sayıları

Fransız matematikçi Marin Mersenne'in adını taşıyan ve 2^p - 1 formunda yazılabilen asal sayılardır. Bu gruptaki sayıların tespiti, bilgisayarların işlem güçlerini test etmekte ve modern şifreleme teorilerinde sıkça kullanılmaktadır.

Kare Karolarla Çarpan Analizi

Ders kitabında 12 adet karo kullanılarak 3 farklı dikdörtgensel alan (3x4, 2x6, 1x12) oluşturulabilirken, 7 adet karo ile sadece tek bir alan (1x7) oluşturulabilmesi, asal ve bileşik sayıların ayrımını gösteren somut bir modeldir.

UCLA Matematik Bölümünün Başarısı

UCLA matematik bölümü araştırmacıları, 2008 yılında yürüttükleri büyük ölçekli dağıtık hesaplama projesi sayesinde 12 milyonun üzerinde basamağa sahip devasa bir asal sayı bularak kriptografi dünyasında önemli bir rekora imza atmışlardır.

Ebob(14, 15) ve Aralarında Asallık

Ardışık iki doğal sayı olan 14 ve 15 sayılarının asal çarpanları sırasıyla (2, 7) ve (3, 5)'tir. Ortak asal çarpanları bulunmadığı için en büyük ortak bölenleri 1'dir ve bu durum ardışık sayıların aralarında asal olduğunu gösteren klasik bir örnektir.

Kriptografi ve Kriptanaliz Kelime Kökenleri

Kriptografi kelimesi Yunanca 'gizli, saklı yazım' anlamına gelirken, kriptanaliz şifreli metinleri çözme bilimidir. Bu iki disiplini barındıran kriptoloji ise kelime anlamı olarak 'gizli bilim' demektir.

Sınavda Dikkat Et

1 sayısının asal sayı olmadığını asla unutmayın; sınavda asallık sorularında 1 sayısı çeldirici olarak sıkça kullanılır.
Doğrusal denkliklerin çözümünün olup olmadığını kontrol etmek için her zaman ebob(a, n) değerinin b'yi bölüp bölmediğine bakın; bölmüyorsa boş küme şıkkını işaretleyin.
Bir sayının birler basamağını bulmanız istendiğinde, soruyu hemen mod 10 tabanına dönüştürerek çözün; bu işlem size zaman kazandıracaktır.
Modüler aritmetikte bölme yaparken çok dikkatli olun; her iki tarafı sadeleştirmeden önce bölen sayı ile modülün aralarında asal olduğunu teyit edin.
Büyük sayıların asallık testinde, sayının karekökünü yaklaşık olarak hesaplayıp sadece o değerden küçük asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol ederek hızlıca sonuca ulaşın.
Gün ve saat problemlerinde modül değerini doğru seçtiğinizden emin olun; gün sorularında mod 7, saat sorularında ise genellikle mod 12 veya mod 24 kullanılır.