Matematiksel soyutlama, zihinsel süreçlerin ve mantıksal yapıların fiziksel nesnelerden arındırılarak incelenmesi sürecidir. Tarihsel olarak Antik Yunanlılar için matematiğin en temel ve gelişmiş dalı geometri olmuştur. Öklid'in 'Öğeler' (Elements) adlı devasa eseri, aritmetik teoremlerin dahi geometrik terimler ve önermeler şeklinde sunulduğu bir başyapıttır.
Matematiksel düşüncenin temel taşlarından biri olan sayılar, tarih boyunca insanlığın hesaplama ihtiyaçlarına paralel olarak sürekli bir evrim geçirmiştir. En ilkel dillerde bile 'bir', 'iki', 'üç' gibi sıfatların yanı sıra 'yarım', 'üçte bir' gibi kesirli terimler bulunurken; -1, 3/2, √2 ve √-1 gibi soyut sayı imlerinin kullanımı son birkaç yüzyılın ürünüdür. Bu gelişim, özellikle Descartes'ın cebir sembolizmini geometriye uygulamasıyla ivme kazanmıştır.
George Boole, 2 Kasım 1815'te İngiltere'nin kuzeyinde Lincoln'de dünyaya gelmiş ve 1864 yılında vefat etmiş olan dünyaca ünlü İngiliz matematikçidir. Lincolnshire'da köklü bir geçmişe sahip olan ayakkabıcı bir babanın oğlu olarak yetişen Boole, resmi bir üniversite eğitimi almamış, aksine kendi kendini yetiştirmiş otodidakt bir bilim insanıdır. Küçük yaşlardan itibaren klasik dillere karşı büyük bir ilgi duymuş, yerel bir kitapçı aracılığıyla Latinceyi, ardından ise kendi çabalarıyla klasik Yunancayı öğrenmiştir.
Boole sisteminin tarihsel süreçteki en temel yeniliği, seçmeli fonksiyonlar kuramı ve bunların günümüzdeki karşılığı olan doğruluk-fonksiyonları kuramıdır. Bu kuram, tikel-evetlemeli yasal biçimde ifade edilme yeteneğine sahiptir ve kökleri antik dönemde Megaralı Philo'nun tartışmalarına kadar uzansa da, genel anlamda sistemi ilk ele alan kişi George Boole olmuştur. Boole'un 'Mathematical Analysis of Logic' adlı eserinden, Frege'nin 1879 tarihli 'Begriffsschrift' (Kavram Yazısı) adlı eserinde yer alan doğruluk-tabloları kullanımına geçiş için oldukça kısa bir adım kalmıştı.
Bağıntı özellikleri konusuna aralıksız ilgi, 1859 yılında Augustus De Morgan’ın yazdığı çığır açıcı bir makaleye dayanmaktadır. De Morgan bu makalesinde, 1847 tarihli Formal Logic (Formel Mantık) eserinde ve daha önceki çalışmalarında ele aldığı kıyas öğretisinin, aslında bağıntıların birleşimi kuramının sadece özel bir durumu olduğunu ifade etmiştir. Amaacı bu konuyu daha genel bir değerlendirme çerçevesine taşımaktı.
George Boole’un mantık alanındaki çalışmalarının ardından mantıktaki bir sonraki büyük dönüm noktası Gottlob Frege (1848-1925) tarafından gerçekleştirilmiştir. Boole mantığı matematiğin bir alt dalı olarak göstermeyi amaçlarken, Frege tam tersi bir yaklaşımla aritmetiğin mantık ile tamamen özdeş olduğunu kanıtlamak istemiştir. İlk bakışta bu iki program birbirine zıt gibi görünse de aslında aralarında derin bir çelişki yoktur; çünkü Boole mantığın sayı cebrine benzeyen bir hesap olarak gösterimiyle ilgilenirken, Frege mantık biliminde formel kesinliği en üst düzeye taşımıştır.
Gottlob Frege'nin ilk eseri olan 'Begriffsschrift' (Kavram Yazısı), günlük dilin karmaşasından uzak, formel ve saf bir düşünce dili oluşturma amacı güder. Frege, dedüksiyonda mutlak kesinliği sağlamak için retorik vurgulardan arındırılmış, kavramsal içeriği doğrudan yansıtan bir sembolleştirme sistemi kurmak istemiştir. Bu yeni yazının aritmetik dilinde modellenmesi gerektiğini belirtse de, asıl benzerliğin genellemeyi ifade eden harflerin kullanımında ortaya çıktığını vurgulamıştır.
Gottlob Frege, dil felsefesinde ve mantık çalışmalarında çığır açan 'Anlam' (Sinn) ve 'Gönderim' (Bedeutung) ayrımını ortaya koymuştur. Bu ayrımı açıklamak için klasikleşmiş olan 'Sabah yıldızı akşam yıldızıyla özdeştir' örneğini kullanır. Bu ifadede yer alan betimlemeler aynı gök cismine (Venüs'e) gönderme yapmaktadır, ancak bu nesneye farklı yollardan, yani farklı anlamlar aracılığıyla işaret ederler.
Gottlob Frege’nin 'Begriffsschrift' (Kavram Yazısı) adlı eseri, tarihsel olarak ilk gerçekten kapsamlı formel mantık sistemi olma özelliğini taşır. Aristoteles döneminden itibaren genel önermeler ve bazı ortak çeşitleri ele alınmış olsa da, mantığın çelişmezlik ve üçüncü halin imkansızlığı gibi en temel ilkeleri ilk kez sistematik bir formülasyona kavuşturulmuştur. Ancak Aristoteles temel mantığın sistematik bir açıklamasına duyulan ihtiyacı tam anlamıyla fark edememiş, bu eksiklik kısmen Chrysippus ve ortaçağ mantıkçıları tarafından giderilmeye çalışılmış olsa da temel ile genel mantık arasındaki ilişki tam olarak kurulamamıştır.
Frege’nin mantıksal gösterim için geliştirdiği sembolizm, içerdiği iki boyutlu gösterimler ve gerekli tür çeşitliliği gibi unsurlar yüzünden oldukça hantal bulunmuş, zamanla yerini daha az sayıda imden oluşan, doğrusal düzenleme gerektiren modern alfabelere bırakmıştır. Frege sembolizminde farklı fontlardan simge kullanımı, değişken tekniği adıyla bilinen ve harflerin farklı rollerini ayırt etmeye yarayan yöntemler açısından takdire değerdir. Ayrıca simgelerin kullanılması ile anılması arasındaki ayrıma dikkat etmesi önemli bir katkıdır; ancak Frege, özel simgelerini günlük dil olan Almanca sözcüklerle birlikte tırnak işareti koymaksızın kullanmıştır.
Matematik felsefesinde 19. yüzyılın sonlarına doğru, özellikle Georg Cantor’un öncülük ettiği saf kümeler kuramında bazı temel çelişkilerin (paradoksların) varlığı fark edilmeye başlanmıştır. Cantor, 1895 gibi erken bir tarihte kendi kuramının bazı çelişkiler barındırdığını görmüş; iki yıl sonra Burali-Forti tarafından sonlu ötesi sıra sayılarıyla ilgili bir paradoks yayınlanmıştır. Daha da önemlisi, 1899 yılında Cantor, kendi ismiyle anılan ve kümeler kuramının temellerini sarsan daha basit bir paradoksu keşfetmiştir.
David Hilbert, 1862 yılında Prusya’nın Königsberg şehrinde ya da yakınındaki Wehlau’da dünyaya gelmiştir. Eğitim hayatına Kant’ın da daha önce gittiği Friedrichskolleg Gymnasium’unda başlamış, ancak burada mutlu olmayarak daha bilim odaklı olan Wilhelm Gymnasium’a geçiş yapmış ve 1880 yılında buradan mezun olmuştur. Aynı yıl Königsberg Üniversitesi’ne giren Hilbert, 1885 yılında küresel armonik fonksiyonların değişmeyen özellikleri üzerine yazdığı tezle doktor unvanını almaya hak kazanmıştır.
Alfred Tarski, 14 Ocak 1901'de Varşova'da Alfred Teitelbaum olarak dünyaya gelmiştir. Rahat şartlarda yaşayan Polonyalı Yahudi bir ailenin çocuğu olan Tarski, henüz 12 yaşındayken Almancadan Lehçeye bir kısa hikâye çevirerek erken yaşta dil ve akademik yeteneğini göstermiştir. Lise yıllarında matematik alanındaki üstün kabiliyeti fark edilmiş, 1918 yılında Varşova Üniversitesi'ne biyoloji okumak amacıyla girmiştir.
Willard Van Orman Quine, 1908 yılında ABD'nin Ohio eyaletine bağlı Akron şehrinde dünyaya gelmiştir. Babası bir sanayici, annesi ise öğretmendir. Eğitim hayatına önem veren Quine, 1930 yılında Oberlin Koleji'nden matematik ve felsefe alanlarında lisans derecesini alarak mezun olmuştur.