Fonksiyon kavramı matematikte en önemli ve temel konulardan biridir. Fonksiyonlar, matematikteki çoğu kavramın tanımlanmasında ve kavramlar arası geçişin sağlanmasında birleştirici bir rol oynar. Nicelikler arasındaki ilişkileri ele alan fonksiyonel düşünme olmadan matematiği anlamanın ve değerini bilmenin mümkün olamayacağı belirlenmiştir.
Günlük yaşamdan ve ekonomiden örnekler fonksiyon mantığını kavramayı kolaylaştırır. Örneğin, fiyatı 5 TL olan bir kalemden x tane aldığımızda ödeyeceğimiz paraya y dersek, f(x) = y = 5x şeklinde bir fonksiyonel ilişki kurabiliriz. Burada ödenen paranın aldığımız kalem miktarına bağlı olduğu açıktır. Satın alınan kalem miktarı değiştikçe ödenecek para da değişecektir. Bu durumda ödenecek para, alınan kalem miktarının bir fonksiyonudur.
Bir başka örnek olarak, bankada vadeli mevduat hesabına yatırılan bir miktar paranın belli bir zaman geçtikten sonraki değeri ele alınabilir. Bu değer; yatırılan para miktarına, o zaman içinde geçerli olan faiz oranına ve geçen zamana göre değişecektir. Dolayısıyla paranın gelecekteki değeri; bu üç değişkene bağlıdır. S paranın gelecekteki değerini (bağımlı değişken), P yatırım miktarını, i faiz oranını ve t geçen zamanı (bağımsız değişkenler) temsil etmek üzere S = f(P, i, t) şeklinde gösterilir.
Bir fonksiyonun bağımsız değişkenleri fonksiyonun tanım kümesini, bağımlı değişkeni ise değer kümesini oluşturur. Bağımlı değişken sayısı tek ise tek değişkenli, birden fazla ise çok değişkenli fonksiyon oluşur. Bu ünitede temel olarak tek değişkenli f(x) fonksiyonları üzerinde durulmaktadır.
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A kümesinin her elemanını, B kümesinin yalnız ve yalnız bir elemanına eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. A kümesinden B kümesine tanımlanan bir f fonksiyonu f: A -> B şeklinde gösterilir. A kümesinin tüm elemanlarını temsil eden değişken x (bağımsız değişken), eşlendiği değerleri kapsayan B kümesinin elemanlarını temsil eden değişken ise y (bağımlı değişken) olarak tanımlanırsa y = f(x) eşitliği elde edilir.
Burada A kümesi f fonksiyonunun 'Tanım Kümesi (T.K.)', B kümesi ise f fonksiyonunun 'Değer Kümesi (D.K.)' olarak adlandırılır. A kümesinin tüm elemanlarının f fonksiyonuna göre B kümesinde eşlendiği elemanların oluşturduğu alt kümeye ise 'Görüntü Kümesi (G.K.)' denir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir.
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şartın aynı anda sağlanması gerekir: Birincisi, tanım kümesinde (A kümesinde) açıkta hiç eleman kalmamalıdır; yani her elemanın bir görüntüsü olmalıdır. İkincisi, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde (B kümesinde) yalnızca bir tek görüntüsü bulunmalıdır. Tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinde birden fazla elemanla eşleşiyorsa bu bağıntı bir fonksiyon belirtmez.
Fonksiyonlar, tanım ve değer kümelerindeki elemanların eşleşme durumlarına ve kurallarına göre çeşitli türlere ayrılırlar. İlk olarak, f: A -> B fonksiyonunda f(A) eşit değildir B ise, yani B değer kümesinde eşlenmeden açıkta kalan en az bir eleman bulunuyorsa, bu fonksiyona 'İçine Fonksiyon' denir.
Eğer f: A -> B fonksiyonunda B değer kümesinde eşlenmeyen, yani boşta kalan hiçbir eleman bulunmuyorsa, diğer bir deyişle görüntü kümesi değer kümesine eşit oluyorsa (f(A) = B), bu fonksiyona 'Örten Fonksiyon' adı verilir.
f: A -> B fonksiyonunda, A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri de daima birbirinden farklı oluyorsa bu fonksiyona 'Bire-Bir Fonksiyon' denir. Grafiksel olarak bir fonksiyonun bire-bir olup olmadığını anlamak için y eksenine paralel doğrular çizilir (veya x eksenine paralel yatay doğrular testi uygulanır); eğer çizilen doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyorsa fonksiyon bire-bir değildir.
f: A -> A fonksiyonunda, f fonksiyonu A kümesinin her elemanını tekrar kendisine eşliyorsa buna 'Birim Fonksiyon' denir ve genellikle 'I' harfi ile gösterilir. Birim fonksiyonun kuralı f(x) = x şeklindedir ve koordinat sisteminde y = x doğrusuna karşılık gelir. f: A -> B fonksiyonunda, A kümesinin bütün elemanları B kümesinin sadece bir ve aynı elemanı ile eşleşiyorsa, bu fonksiyona 'Sabit Fonksiyon' denir. Sabit fonksiyonun kuralı c bir gerçek sayı olmak üzere f(x) = c şeklindedir.
Fonksiyonlar üzerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi temel aritmetik işlemler tanımlanabilir. f ve g iki fonksiyon olmak üzere; toplam fonksiyonu (f + g)(x) = f(x) + g(x), fark fonksiyonu (f - g)(x) = f(x) - g(x), çarpım fonksiyonu (f . g)(x) = f(x) . g(x) ve bölüm fonksiyonu paydanın sıfırdan farklı olması şartıyla (f / g)(x) = f(x) / g(x) şeklinde tanımlanır.
Ayrıca bir f fonksiyonunun bir k gerçek sayısı ile çarpımı da (k . f)(x) = k . f(x) şeklinde hesaplanır. Bu işlemler gerçekleştirilirken fonksiyonların tanım kümelerinin kesişim kümesi üzerinde işlem yapıldığına dikkat edilmelidir. Bölme işleminde ek olarak bölen fonksiyonu sıfır yapan noktalar tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
f fonksiyonu A'dan B'ye bire-bir ve örten bir fonksiyon olmak üzere, B'deki elemanları tekrar A'daki eşleştikleri elemanlara geri götüren fonksiyona f'nin 'Ters Fonksiyonu' denir ve f^-1 ile gösterilir. Bir fonksiyonun tersinin var olabilmesi için o fonksiyonun mutlaka bire-bir ve örten olması şarttır. Bir fonksiyonun tersi bulunurken genel kural olarak y = f(x) denkleminde x ile y'nin yerleri değiştirilir ve yeni denklemde y yalnız bırakılır.
g: A -> B ve f: B -> C fonksiyonları verilmiş olsun. A kümesindeki elemanları doğrudan C kümesine eşleyen h: A -> C fonksiyonuna f ile g fonksiyonlarının 'Bileşke Fonksiyonu' denir ve h = fog şeklinde yazılır. Bu ifade 'f bileşke g' şeklinde okunur ve (fog)(x) = f(g(x)) kuralı ile hesaplanır. Bileşke işleminde sağdaki fonksiyon soldakinin içine yazılır. Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur, yani genellikle (fog)(x) eşit değildir (gof)(x).