Ünite 10: Olasılık - Tesadüfi Değişken, Olasılık Dağılımı ve Beklenen Değer

Olasılık - Tesadüfi Değişken, Olasılık Dağılımı ve Beklenen Değer - kaynak sayfa görseli

Kaynak: ders kitabı, sayfa 268

Zar Atma Deneyinde Beklenen Değer

Hilesiz bir zarın atılması deneyinde olası sonuçlar 1'den 6'ya kadar tam sayılardır ve her birinin olasılığı eşit olarak 1/6'dır. Bu dağılımın beklenen değeri E(X) = 21/6 = 3,5 olarak hesaplanır ve zarın sonsuz kez atılması durumundaki uzun vadeli ortalamayı verir.

İki Zarın Toplamı Dağılım Tablosu

İki zarın birlikte atılarak üst yüzlerinin toplanması deneyi sonucunda tesadüfi değişken 2 ile 12 arasında değerler alır. Toplam 36 olası durum arasından 7 gelme olasılığı 6/36 ile en yüksek olasılığa sahip sonuçtur.

Sigorta Şirketi Beklenen Kazanç Analizi

25 yaşında bir bireyin bir yıl içinde hayatta kalma olasılığı 0,992, ölüm olasılığı 0,008'dir. Şirket 10 TL prim alıp ölümde 1000 TL ödediğinde, poliçe başına beklenen kazanç E(X) = (+10.0,992) + (-990.0,008) = 2,00 TL olarak hesaplanır.

Futbol Maçı Puan Beklentisi Örneği

Bir futbol takımının mağlubiyet (0 puan) olasılığı 0,20, beraberlik (1 puan) olasılığı 0,20 ve galibiyet (3 puan) olasılığı 0,60 olduğunda maç başına beklenen puanı 2,00'dir. 20 maçlık bir sezonda bu takımın 40 puan toplaması beklenir.

Anahtar Kavramlar

Tesadüfi DeneyBenzer koşullar altında tekrarlandığında farklı sonuçlar verebilen ve hangi sonucun gerçekleşeceği önceden tam olarak kestirilemeyen deneylerdir. Örneğin bir madeni paranın atılması veya bir işyerinden rastgele personel seçilmesi birer tesadüfi deneydir.

Tesadüfi DeğişkenBir tesadüfi deneyin tüm mümkün sonuçlarına sayısal birer değer verilmesiyle oluşturulan değişkendir. Örneğin tekstil atölyesindeki kusurlu ürünlerin 1, kusursuz ürünlerin 0 ile kodlanması bir tesadüfi değişken tanımlar.

Nicel SonuçTesadüfi deneyler sonucunda ortaya çıkabilecek ve sayısal değer alabilen özelliklerdir. Örneğin işyerinde seçilen bir personelin yaşı veya bir ürünün üretim maliyeti nicel sonuçlara örnek oluşturur.

Nitel SonuçTesadüfi deneyler sonucunda ortaya çıkan ve sayısal değer alamayan, kategorik özellikler taşıyan durumlardır. Örneğin personelin cinsiyeti, eğitim durumu veya gömleklerin kusurlu/kusursuz olması nitel sonuçtur.

Olasılık DağılımıTesadüfi bir değişkenin alabileceği mümkün sonuçların, hangi olasılıklarla gerçekleştiğini gösteren istatistiksel bir araçtır. İki zarın toplamının olası değerleri ve olasılıklarını gösteren tablo bir olasılık dağılımıdır.

Tam SistemBağdaşmayan ve bir tesadüfi deneyin tüm olası sonuçlarını kapsayan olaylar kümesinin olasılıkları toplamının 1 (tam) olmasını ifade eden kavramdır. Tüm olasılıkların toplamı tam sistemi oluşturur.

Bağdaşmayan OlaylarKesişim kümesi bulunmayan, yani aynı anda gerçekleşmesi imkansız olan olaylardır. Örneğin bir zar atıldığında gelen yüzün aynı anda hem 2 hem de 5 olması imkansızdır, bu nedenle bu sonuçlar bağdaşmayandır.

Kesikli Tesadüfi DeğişkenAlabileceği değerler sayılabilecek kadar sınırlı veya tam sayı olan tesadüfi değişken türüdür. İki zarın üst yüzlerinin toplamı (2, 3, 4... 12) kesikli bir tesadüfi değişkendir.

Sürekli Tesadüfi DeğişkenBelirli bir aralıktaki bütün reel sayı değerlerini alabilen, kesintisiz bir yapı gösteren tesadüfi değişkendir. Sürekli değişkenlerin olasılık dağılımına olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.

Olasılık Yoğunluk FonksiyonuSürekli tesadüfi değişkenlerin olasılık dağılımını ifade etmek için kullanılan ve belirli bir aralıktaki olasılıkları alan (integralle) hesaplamaya imkan tanıyan fonksiyondur.

Beklenen DeğerBir tesadüfi değişkenin alabileceği tüm mümkün sonuçların kendi olasılıklarıyla çarpılıp toplanması suretiyle bulunan ağırlıklı ortalamasıdır. Deneyin uzun dönem ortalamasını gösterir.

Matematik ÜmitBeklenen değer kavramının literatürdeki diğer adıdır. Tesadüfi bir değişkenin hareketleneceği veya uzun vadede yöneleceği matematiksel ortalama değeri ifade eder.

Uzun Dönem OrtalamasıBir tesadüfi deneyin çok sayıda (tekrarlı) kez yapılması durumunda gözlemlenecek sonuçların ortalamasıdır. Beklenen değer kişisel bir temenni değil, bu uzun dönem ortalamasını belirtir.

Kodlama SüreciSayısal özellik göstermeyen nitel tesadüfi deney sonuçlarının istatistiksel analiz yapılabilmesi amacıyla sayısal değerlerle (örneğin 0 ve 1 ile) ifade edilmesidir.

Diğer Önemli Bilgiler

Madeni Para Atma ve Puanlama Deneyi

Bir madeni paranın atılması deneyinde yazı gelmesi 10 puan, tura gelmesi 20 puan olarak kaydedildiğinde, paranın gelme olasılıkları 1/2'şer olduğundan bu deneyin limit durumdaki beklenen değeri (10.1/2) + (20.1/2) = 15 puan olmaktadır.

İşyeri Personel Seçimi ve Nitel Değişkenler

Tamamen tesadüfi olarak seçilen personelin cinsiyeti ve eğitimi nitel özellik taşırken yaşı nicel özellik gösterir. İşgörenlerin %30'unun kadın ve %70'inin erkek olduğu işyerinde seçilen kişinin kadın çıkma olasılığı %30'dur.

Tekstil Atölyesi Kalite Kontrol Kodlaması

Bir tekstil atölyesinde dikilmekte olan gömleklerin kusurlu veya kusursuz şeklinde ayrılması nitel bir tesadüfi deneydir. Bu sonuçların istatistiksel analize tabi tutulabilmesi için kusurlular 1, kusursuzlar 0 ile kodlanarak sayıssallaştırılır.

Hastanede Yenidoğan Bebek Kodlama Örneği

Bir hastanede dünyaya gelen bebeklerin kilolarına göre sınıflandırılması amacıyla düşük kilolu bebekler 1, normal kilolu bebekler 2 ve aşırı kilolu bebekler 3 ile kodlanarak tesadüfi değişken tanımlanabilir.

Tam Sistem Olasılık Kuralı (Toplam = 1)

Bağdaşmayan tüm olası sonuçların ayrı ayrı olasılıkları toplandığında tam sistem oluşturur ve bu toplam kesinlikle 1'e eşittir (Σ P(xi) = 1). Bu kural hiçbir olayın olasılık dağılımının dışında kalmadığını kanıtlar.

Bölüm Yazarının Katkısı

Doç. Dr. Sema Ulutürk Akman tarafından kaleme alınan bu ünite, tesadüfi değişken, olasılık dağılımı ve beklenen değer konularını temel istatistik ilkeleri ve pratik iş/yaşam örnekleriyle açıklamaktadır.

Sınavda Dikkat Et

Olasılık dağılımı oluşturulurken tüm olasılıkların toplamının her zaman tam olarak 1 (tam sistem) olması gerektiğini unutmayın; sınavda toplamı 1 olmayan dağılımlar geçersizdir.
Beklenen değer formülünün E(X) = Σ xiP(xi) olduğunu ve bunun basit bir aritmetik ortalama değil, olasılıklarla ağırlıklandırılmış bir ortalama (uzun dönem ortalaması) olduğunu kafanıza kazıyın.
Zar atma deneyinde beklenen değerin 3,5 olduğunu (21/6) ezberlemek sınavda işlem yapmadan hızlıca doğru cevaba ulaşmanızı sağlar.
Kesikli tesadüfi değişken dağılımı ile sürekli tesadüfi değişken dağılımının (olasılık yoğunluk fonksiyonu) adlarını ve ayrımlarını karıştırmayın.
Nitel sonuçların doğrudan sayısal işlemde kullanılamayacağını, bu yüzden 0 ve 1 gibi kodlama yöntemleriyle sayısallaştırıldıktan sonra tesadüfi değişken tanımlanabildiğini hatırlayın.
Beklenen değer sorularında sigorta poliçesi veya futbol maçı puan hesaplamalarında şirket kasasına giren (+ değer) ve çıkan (- değer) net nakit akışlarını ve prim ödemelerini dikkatli okuyun.
Bağdaşmayan olaylar kuralında, kesişim kümesinin boş olması gerektiği ve birleşik olasılığın basit olasılıkların toplamına eşit olduğu kuralını sınavda dikkatle uygulayın.