Günlük hayatta ve mühendislik uygulamalarında, çoğu zaman bir fonksiyonun doğrudan kendisini ölçmek yerine, onun zamana veya başka bir değişkene göre değişimini (hızını, artış oranını) ölçmek çok daha kolay ve pratiktir. Örneğin, hareket halindeki bir aracın katettiği toplam mesafeyi doğrudan anlık olarak ölçmek yerine, araçtaki hız göstergesi yardımıyla anlık hız değişimini ölçmek çok daha yaygın bir yöntemdir. Bir fonksiyonun değişimini ölçmek, matematiksel olarak o fonksiyonun türevini bilmek anlamına gelir. Eğer bir fonksiyonun değişim hızı bir fonksiyon olarak belirlenebiliyorsa, bu fonksiyonun ters türevi alınarak fonksiyonun kendisi elde edilebilir.
Ters türev alma işlemi, matematik literatüründe integral alma olarak adlandırılır. İntegral kavramı, sadece türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmakla kalmaz; aynı zamanda geometrik ve fiziksel olarak düzgün olmayan sınır çizgilerine sahip bölgelerin alanlarının hesaplanmasında veya dönel cisimlerin hacimlerinin bulunmasında da en temel araç olarak karşımıza çıkar.
Bu ünitede, diferansiyel hesabın tersi olan belirsiz integral kavramını, temel integral alma kurallarını, integral hesaplamalarında kullanılan değişken dönüşümü, kısmi integral ve rasyonel fonksiyonları basit kesirlerine ayırma yöntemlerini detaylıca inceleyeceğiz.
Matematiksel olarak, türevi f(x) veya diferansiyeli f(x)dx olan bir F(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir. Bu ilişki sembolik olarak ∫ f(x)dx = F(x) şeklinde gösterilir. Buradaki temel koşul, F(x) fonksiyonunun x'e göre türevinin f(x) olmasıdır, yani d/dx [F(x)] = f(x) eşitliğinin sağlanmasıdır.
Diğer taraftan, sabit bir sayının türevinin her zaman sıfır olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, d/dx [F(x) + C] = f(x) eşitliği de her zaman geçerlidir. Burada yer alan C sayısı tamamen keyfi bir reel sayı olup, buna 'integrasyon sabiti' adı verilir. Dolayısıyla, bir fonksiyonun belirsiz integrali tek bir fonksiyon değil, aralarında sadece bir sabit sayı farkı bulunan bir fonksiyonlar ailesidir. Bu durum genel olarak ∫ f(x)dx = F(x) + C biçiminde ifade edilir.
Örneğin, ∫ 2x dx integralini hesaplamak, türevi 2x olan fonksiyonu bulmak demektir. Türev kurallarından bildiğimiz üzere x^2 fonksiyonunun türevi 2x'tir. Dolayısıyla bu integralin sonucu ∫ 2x dx = x^2 + C olarak bulunur. Buradaki C sabiti, x^2+1, x^2-5 gibi türevi 2x olan sonsuz sayıda fonksiyonu temsil eder.
Belirli temel fonksiyonların integrallerini doğrudan alabilmek için türev kurallarından türetilmiş bazı standart integral kuralları mevcuttur. Bu kuralların başında sabit çarpanın integral dışına alınabilmesi kuralı gelir: ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx. Benzer şekilde, iki fonksiyonun toplamının veya farkının integrali, bu fonksiyonların ayrı ayrı integrallerinin toplamına veya farkına eşittir: ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(g)dx.
Kuvvet fonksiyonlarının integralini alırken, n ≠ -1 olmak üzere, x'in üssü 1 artırılır ve fonksiyon yeni üsse bölünür: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C. Eğer n = -1 ise, yani fonksiyon 1/x ise, bu fonksiyonun integrali doğal logaritma fonksiyonunu verir: ∫ (1/x) dx = ln|x| + C.
Üstel fonksiyonların integrali için iki temel kural vardır. Doğal üstel fonksiyon olan e^x'in integrali kendisine eşittir: ∫ e^x dx = e^x + C. Genel üstel fonksiyon a^x'in integrali ise (a > 0 olmak üzere) ∫ a^x dx = (a^x)/(ln a) + C şeklindedir. Trigonometrik fonksiyonlardan sinüs ve kosinüsün integralleri sırasıyla ∫ sin x dx = -cos x + C ve ∫ cos x dx = sin x + C olarak hesaplanır.
Verilen bir fonksiyonun integrali doğrudan temel integral kuralları ile alınamayacak kadar karmaşık olduğunda, integrali daha basit ve tanıdık bir forma getirmek için 'değişken dönüşümü yöntemi' uygulanır. Bu yöntem, türevdeki zincir kuralının integraldeki karşılığıdır.
∫ f(x)dx integralinde x = u(t) biçiminde bir dönüşüm yapıldığında, diferansiyel dx = u'(t)dt olur ve integral ∫ f[u(t)].u'(t) dt haline gelir. Bu yeni integral hesaplandıktan sonra, t yerine ters dönüşüm olan t = u^-1(x) yazılarak tekrar orijinal x değişkenine dönülür.
Bu yöntemde en kritik adım, fonksiyonun hangi kısmına 'u' denileceğinin doğru seçilmesidir. Genellikle parantez içindeki ifadeler, köklü ifadelerin iç kısımları, paydadaki ifadeler veya üstel fonksiyonların üsleri 'u' olarak seçilir. Örneğin, ∫ 2x.(x^2 + 5) dx integralinde x^2 + 5 = u dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın türevi alınarak 2x dx = du elde edilir. Böylece integral ∫ u du formuna dönüşür ve kolayca çözülür.
İki fonksiyonun çarpımı biçimindeki ifadelerin integralini almak için kullanılan en önemli yöntemlerden biri 'kısmi integral yöntemi'dir. Bu yöntem, iki fonksiyonun çarpımının diferansiyel kuralından türetilmiştir.
u ve v, x değişkenine bağlı iki fonksiyon olmak üzere, çarpımın diferansiyeli d(u.v) = du.v + u.dv şeklindedir. Bu ifadeden u.dv çekilirse, u.dv = d(u.v) - v.du elde edilir. Her iki tarafın integrali alındığında kısmi integral formülü olan ∫ u dv = u.v - ∫ v du formülüne ulaşılır.
Kısmi integral yönteminin başarılı olabilmesi için, integral içindeki ifadenin u ve dv olarak öyle iki parçaya ayrılması gerekir ki, elde edilecek olan ∫ v du integrali başlangıçtaki ∫ u dv integralinden çok daha kolay hesaplanabilir olsun. Genellikle logaritmik ve ters trigonometrik fonksiyonlar 'u' olarak seçilirken, polinomlar ve üstel fonksiyonlar 'dv' kısmına dahil edilir. Örneğin, ∫ ln x dx integralinde u = ln x ve dv = dx seçilerek çözüm gerçekleştirilir.
P(x) ve Q(x) iki polinom olmak üzere, P(x)/Q(x) biçimindeki rasyonel fonksiyonların integralini almak için 'basit kesirlere ayırma yöntemi' kullanılır. Eğer payın derecesi paydanın derecesinden büyük veya eşitse, öncelikle polinom bölmesi yapılarak ifade P(x)/Q(x) = K(x) + R(x)/Q(x) biçimine getirilir. Burada K(x) bir polinomdur ve R(x)'in derecesi Q(x)'in derecesinden küçüktür.
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük hale getirildikten sonra, payda çarpanlarına ayrılır. Paydanın çarpanlarının durumuna göre rasyonel ifade; A/(px+q), B/(px+q)^n veya (Ax+B)/(ax^2+bx+c) gibi daha basit, integrali kolayca alınabilen temel kesirlerin toplamı şeklinde yazılır.
Örneğin, ∫ 2/(x^2 - 4) dx integralinde payda (x-2)(x+2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. İfade A/(x-2) + B/(x+2) biçiminde yazılıp paydalar eşitlenerek belirsiz katsayılar yöntemiyle A ve B sabitleri bulunur. Sabitler bulunduktan sonra her bir terimin integrali ayrı ayrı logaritmik olarak hesaplanır.