Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
Küme kavramı, matematikte nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesini veya koleksiyonunu ifade eder. Bir kümenin elemanları genellikle süslü parantez içinde gösterilir ve büyük harflerle isimlendirilir. Tüm elemanları barındıran en geniş kümeye evrensel küme denir ve genellikle U harfiyle temsil edilir. Küme işlemlerinde birleşim (A ∪ B), her iki kümedeki tüm elemanları bir araya getirirken; kesişim (A ∩ B), yalnızca her iki kümede ortak bulunan elemanları içerir.
Bir kümenin tümleyeni (Ac), evrensel kümede olup o kümede bulunmayan tüm elemanların kümesidir. Fark işlemi ise (A \ B), A kümesinde olup B kümesinde bulunmayan elemanları temsil eder. Bu temel işlemler Venn şemaları kullanılarak görselleştirilebilir. Venn şemaları, kümeler arasındaki ilişkileri, kesişimleri ve farkları dairesel bölgeler yardımıyla somutlaştırarak karmaşık küme problemlerinin çözümünü kolaylaştırır.
Alt küme kavramı, bir kümenin elemanlarıyla oluşturulabilecek tüm olası grupları ifade eder. n elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı 2^n formülü ile hesaplanır. Boş küme her kümenin alt kümesidir ve kendisi hariç tüm alt kümelerin listelendiği durumlarda boş küme de hesaba katılır. Belirli elemanları içeren veya içermeyen alt kümelerin sayısını bulmak için, söz konusu elemanlar kümeden geçici olarak çıkarılarak kalan elemanlar üzerinden alt küme hesabı yapılır.
Sayı sistemleri, doğal sayılardan (N) başlayarak tam sayılar (Z), rasyonel sayılar (Q) ve gerçek sayılar (R) olarak genişler. Rasyonel sayılar, paydası sıfırdan farklı olmak üzere iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Gerçek sayılar ise rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur ve sayı doğrusundaki her bir noktaya karşılık gelir. Sayı doğrusu üzerindeki sürekli alt kümeler aralıklar olarak tanımlanır.
Aralıklar, uç noktalarının dahil olup olmamasına göre açık, kapalı veya yarı açık aralık olarak adlandırılır. Örneğin, [a, b] kapalı aralığı a ve b noktaları dahil olmak üzere aradaki tüm gerçek sayıları içerirken; (a, b) açık aralığı uç noktaları hariç tutar. Aralıkların birleşimi, kesişimi ve farkı gibi işlemler sayı doğrusu üzerinde çizilerek kolayca görselleştirilebilir ve çözülebilir.
Mutlak değer, bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığını ifade eder. Bu nedenle mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz. Matematiksel olarak, x >= 0 ise |x| = x, x < 0 ise |x| = -x şeklinde piecewise (parçalı) tanımlanır. İki nokta arasındaki uzaklık da mutlak değer yardımıyla ifade edilir; örneğin |x - c| <= d ifadesi, x sayısının c noktasına olan uzaklığının d birimden küçük veya eşit olduğunu belirtir ve bu durum [c - d, c + d] kapalı aralığına karşılık gelir.
Fonksiyon, boş olmayan iki küme arasında tanımlanan ve birinci kümenin her bir elemanını, ikinci kümenin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen özel bir ilişkidir. f: A -> B gösteriminde A kümesi tanım kümesi (departure set), B kümesi ise değer kümesi (terminal set) olarak adlandırılır. Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde mutlaka bir karşılığı olmalı ve bu karşılık benzersiz olmalıdır.
Görüntü kümesi (f(A)), tanım kümesindeki elemanların fonksiyon altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümedir ve değer kümesinin bir alt kümesidir (f(A) ⊆ B). Eğer bir fonksiyonun kuralı verilip tanım kümesi açıkça belirtilmemişse, bu kuralı matematiksel olarak anlamlı kılan en geniş gerçek sayılar kümesi aranır; buna fonksiyonun doğal tanım kümesi (natural domain) denir.
Doğal tanım kümesi bulunurken temel matematiksel kısıtlamalara dikkat edilir. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan noktalar tanım kümesinden çıkarılmalıdır. Çift dereceden köklü ifadelerde ise kök içerisindeki ifadenin negatif olmaması (>= 0) gerekir. Bu kısıtlamalar birlikte değerlendirilerek fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş aralık belirlenir.
Fonksiyonlar, elemanları eşleme biçimlerine göre bire bir, örten ve içine olarak sınıflandırılır. Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı oluyorsa bu fonksiyona bire bir (injective) fonksiyon denir. Değer kümesindeki her eleman tanım kümesinden en az bir elemanla eşleşiyorsa, yani değer kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa bu fonksiyona örten (surjective) fonksiyon denir.
Hem bire bir hem de örten olan fonksiyonlara bire bir ve örten (bijective) fonksiyonlar denir. Tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki tek bir sabit elemana eşleyen fonksiyonlara sabit fonksiyon; her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona ise birim (özdeşlik) fonksiyonu denir. Birim fonksiyon genellikle I harfiyle gösterilir.
Tanım kümesinin farklı alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyonlar (piecewise defined functions) denir. Günlük hayattaki otopark ücret tarifeleri, vergi dilimleri gibi durumlar parçalı fonksiyonlara en güzel örneklerdir. Mutlak değer fonksiyonu da aslında sıfırdan küçük ve büyük değerler için farklı kurallara sahip klasik bir parçalı fonksiyondur.
İki veya daha fazla fonksiyonu birleştirerek yeni bir fonksiyon elde etme işlemine bileşke işlemi denir. f: A -> B ve g: B -> C olmak üzere, (g o f)(x) = g(f(x)) şeklinde tanımlanan fonksiyon A'dan C'ye bir fonksiyondur. Bileşke işleminde sıra çok önemlidir; genel olarak f o g ile g o f birbirine eşit değildir, yani bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
Bir fonksiyonun tersinin (f^-1) tanımlanabilmesi için fonksiyonun mutlaka bire bir ve örten (bijective) olması gerekir. Eğer fonksiyon örten değilse değer kümesinde açıkta eleman kalacağından ters eşlemede tanım kümesinde açıkta eleman kalır; bire bir değilse ters eşlemede bir eleman birden fazla elemana gideceğinden fonksiyon olma şartı bozulur. Bir fonksiyonun tersi f^-1(y) = x eşitliğini sağlar.
Fonksiyonlar arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri de tanımlıdır. İki fonksiyonun toplanabilmesi veya çarpılabilmesi için tanım kümelerinin kesişim kümesi üzerinde işlem yapılır. Bölme işleminde ek olarak paydadaki fonksiyonu sıfır yapan değerlerin tanım kümesinden çıkarılması gerekir. Fonksiyonların çarpımı (f * g)(x) ile bileşkesi (f o g)(x) tamamen farklı işlemlerdir ve karıştırılmamalıdır.