Ünite 6: Derivative and İts Applications — Alıştırmalar
Ders kitabının açık uçlu alıştırmaları. Bunlar çoktan seçmeli sınav sorusu değil — düşünmeni, araştırmanı, kendi cümlelerinle anlatmanı isteyen etkinlikler. Kitabın verdiği örnek yanıtlar kapalı duruyor; önce kendin dene.
Alıştırma 1myders hazırladı
$f(x) = e^x$ fonksiyonunun her zaman artan olmasını birinci türev kavramını kullanarak açıklayınız ve benzer şekilde her zaman azalan olan bir fonksiyon örneği vererek türeviyle bunu kanıtlayınız.
Yanıt / ipucu
$f'(x) = e^x$ her zaman sıfırdan büyük olduğu için fonksiyon her zaman artandır. Her zaman azalan bir fonksiyona örnek olarak $g(x) = -e^x$ veya $g(x) = -x^3$ verilebilir; çünkü bu fonksiyonların türevleri her zaman sıfırdan küçüktür.
Alıştırma 2myders hazırladı
$f(x) = 3x^2 + 12x$ fonksiyonunun kritik noktasını bulunuz ve bu noktanın bir yerel minimum olduğunu göstermek için bir işaret tablosu (türevin işaret değişimi) hazırlayarak adımlarınızı açıklayınız.
Yanıt / ipucu
Türev $f'(x) = 6x + 12$ sıfıra eşitlenerek kritik nokta $x = -2$ bulunur. $x < -2$ için $f'(x) < 0$ (azalan) ve $x > -2$ için $f'(x) > 0$ (artan) olduğundan, türevin işareti eksiden artıya geçmiştir ve bu nokta bir yerel minimumdur.
Alıştırma 3myders hazırladı
Bir firmanın gelir fonksiyonu $R(x) = 600x - 4x^2$ olarak verilmiştir. İkinci türev testini kullanarak, geliri maksimum yapan satış miktarını belirleyiniz ve bu yöntemin neden güvenilir olduğunu tartışınız.
Yanıt / ipucu
Birinci türev $R'(x) = 600 - 8x = 0$ eşitliğinden kritik nokta $x = 75$ bulunur. İkinci türev $R''(x) = -8 < 0$ (negatif) olduğundan, bu kritik noktanın kesinlikle bir yerel maksimum noktası olduğu doğrulanır.
Alıştırma 4myders hazırladı
Doğrusal talep eğrilerinin genellikle negatif eğimli, doğrusal arz eğrilerinin ise pozitif eğimli olmasının arkasındaki ekonomik gerekçeleri araştırıp kendi cümlelerinizle karşılaştırınız.
Yanıt / ipucu
Talep eğrisi negatif eğimlidir çünkü fiyat düştükçe tüketicilerin satın alma isteği artar; arz eğrisi ise pozitif eğimlidir çünkü yüksek fiyatlar üreticileri daha fazla mal sunmaya teşvik eder.
Alıştırma 5myders hazırladı
Bir çanta üreticisinin maliyet fonksiyonu $C(x) = x^2/12 + 80x + 2500$ olarak tanımlanmıştır. Marjinal analiz yöntemiyle 600. birimdeki marjinal maliyeti hesaplayınız ve marjinal maliyetin işletmeler için önemini açıklayınız.
Yanıt / ipucu
Maliyet fonksiyonunun türevi $C'(x) = x/6 + 80$ olup, $C'(600) = 180$ TL olarak bulunur. Bu değer, 601. çantayı üretmenin firmaya getireceği ek maliyeti yaklaşık olarak gösterir ve üretim planlamasında karar vermeyi kolaylaştırır.
