Geleneksel ağ teorilerinde, özellikle 1998 yılına kadar olan süreçte, internetin ve diğer birçok karmaşık ağ yapısının rassal (rastgele) bir model izlediği varsayılıyordu. Rassal ağ modelinde, düğümlerin birbirleriyle bağlantı kurma olasılığı sabittir ve bu durum Poisson tipi bir derece dağılımı ortaya çıkarır. Poisson dağılımına sahip bir ağda, düğümlerin büyük bir kısmı ortalama bir bağlantı sayısına (dereceye) sahipken, çok az veya çok fazla bağlantısı olan düğümlerin sayısı ihmal edilebilir düzeydedir. Bu durum, ağın belirli bir karakteristik ölçeğe sahip olduğunu gösterir.
Ancak gerçek hayattaki ağlar incelendiğinde durumun tamamen farklı olduğu görülür. Örneğin internet, elektrik şebekeleri, doğalgaz hatları veya sosyal ilişkiler rassal bir şekilde kurulmaz. Evimizdeki elektrik kabloları veya sokaktaki doğalgaz boruları belirli bir amaca hizmet etmek üzere planlı bir şekilde inşa edilmiştir. Benzer şekilde internetin haritası çıkarıldığında, derece dağılımının homojen olmadığı, aksine son derece asimetrik bir yapı sunduğu gözlenmiştir. Bu asimetri, 'ölçekten bağımsızlık' kavramının temelini oluşturur.
Ölçekten bağımsız ağların en belirgin görsel ve matematiksel özelliği, derece dağılımlarının bir çan eğrisi (Poisson) yerine, sol yukarıdan sağ aşağıya doğru hızla inen bir eğri (kuvvet yasası) şeklinde olmasıdır. Bu ağlarda, derece dağılımı incelendiğinde 'çok az sayıda bağlantıya sahip olan düğümlerin sayısının aşırı yüksek, çok fazla bağlantıya sahip olan merkezî düğümlerin (hub) sayısının ise aşırı az' olduğu görülür. Bu yapısal fark, ağın dinamiklerini, dayanıklılığını ve bilgi yayılım hızını doğrudan etkiler.
Gerçek ağlarda bazı düğümlerin binlerce bağlantıya sahip birer 'merkez' (hub) haline gelmesi, rastlantısal bir sürecin sonucu değildir. Bu durumun arkasında iki temel dinamik yatar: Ağların sürekli büyümesi ve yeni katılan düğümlerin 'tercihli bağlantı' (preferential attachment) yapması. Statik ağ modellerinin aksine, gerçek ağlar zaman içinde yeni düğümlerin eklenmesiyle sürekli genişler. Ağa yeni katılan bir düğüm, mevcut düğümler arasından seçim yaparken tamamen tarafsız davranmaz; daha popüler, yani bağlantı sayısı zaten yüksek olan düğümlere bağlanmayı tercih eder.
Bu durum literatürde 'zenginin daha zengin olması' (rich-get-richer) fenomeni olarak adlandırılır. Matematiksel olarak, yeni bir düğümün mevcut bir i düğümüne bağlanma olasılığı, o i düğümünün derecesinin ağdaki tüm düğümlerin derecelerinin toplamına oranına eşittir. Bu olasılık formülü, yüksek dereceli düğümlerin yeni bağlantıları kendilerine çekme gücünün doğrusal olarak arttığını gösterir. Örneğin, 4 bağlantısı olan bir düğümün yeni bir bağlantı alma olasılığı, 2 bağlantısı olan bir düğüme göre tam iki kat daha fazladır.
Tercihli bağlantı mekanizması, Barabási-Albert (BA) modeli ile simüle edilmiştir. Bu modelde, ağ her adımda yeni düğümlerin eklenmesiyle büyür ve derece dağılımı üssü 3 olan bir kuvvet yasasına (alpha = 3) yakınsar. Bu durumun somut bir örneği hava yolu ulaşım ağıdır. Kara yolu ağında şehirler birbirine benzer sayıda yolla bağlıyken (rassal ağa benzer), hava yolu ağında bazı büyük şehirler (İstanbul, Londra gibi) devasa aktarma merkezleri (hub) haline gelmiştir ve uçuşların büyük kısmı bu merkezler üzerinden gerçekleştirilir.
Kuvvet yasası, doğada ve sosyal bilimlerde sıkça karşılaşılan, ölçekten bağımsız davranışları açıklayan matematiksel bir ilişkidir. Bir x değişkeninin olasılık dağılımı P(x) ≈ x^-alpha formülüne uyuyorsa, bu değişkenin kuvvet yasasına göre dağıldığı söylenir. Burada alpha, ölçekleme parametresi (üs) olarak adlandırılır ve genellikle gerçek sistemlerde 2 ile 3 arasında değerler alır. Kuvvet yasası dağılımları; kalın kuyruklu dağılımlar, Pareto dağılımları veya Zipf dağılımları olarak da bilinir. Bu dağılımların en önemli özelliği, tek bir ortalama değer ile karakterize edilememeleridir.
Kuvvet yasasının sosyo-ekonomik alandaki ilk somut gözlemi İtalyan ekonomist Vilfredo Pareto tarafından 1800'lü yılların sonunda yapılmıştır. Pareto, İtalya'daki toprakların %80'inin nüfusun sadece %20'sine ait olduğunu fark etmiştir. Bu gözlem, günümüzde 'Pareto İlkesi' veya '80/20 Kuralı' olarak adlandırılan ve etkilerin büyük kısmının az sayıdaki etkenden kaynaklandığını belirten genel bir prensibe dönüşmüştür. Gelir dağılımı, şehir nüfusları, deprem büyüklükleri ve elektrik kesintilerinin boyutları bu asimetrik dağılıma mükemmel örneklerdir.
Kuvvet yasası ve asimetrik dağılımlarla ilişkili bir diğer önemli olgu ise Benford Yasası'dır (İlk Sayı Savı). İlk kez 1881'de Simon Newcomb tarafından ortaya atılan ve daha sonra fizikçi Frank Benford tarafından popülerleştirilen bu yasaya göre, çok çeşitli doğal ve beşerî veri setlerinde kullanılan sayıların ilk basamağının '1' olma olasılığı yaklaşık %30'dur ve bu olasılık diğer rakamlara doğru (9'a kadar) azalan bir eğri çizer. Muhasebe verileri, faturalar, nehir uzunlukları ve hisse senedi fiyatları bu yasaya uyar. Bu yasa günümüzde finansal verilerde yolsuzluk ve manipülasyon testlerinde aktif olarak kullanılmaktadır.
Ağlar statik yapılar değildir; zaman içinde düğüm ve bağlantı eklenmesi veya çıkarılmasıyla dinamik olarak gelişirler. Ağların büyüme sürecinde en dikkat çekici fenomenlerden biri 'jölelenme noktası' (gelation point) ve 'evre geçişi' (phase transition) durumudur. Ağ ilk oluşmaya başladığında, birbirinden bağımsız, küçük ve kopuk birçok alt bileşenden oluşur. Ancak ağ büyüdükçe ve bağlantı yoğunluğu arttıkça, kritik bir eşik değerine ulaşılır. Bu eşikte, küçük bileşenler hızla birleşerek ağın büyük kısmını kaplayan tek bir 'dev bileşen' (giant component) oluştururlar.
Jölelenme noktası, ağın yarıçapının en büyük değerine ulaştığı kritik andır. Bu noktadan sonra, yeni bağlantıların eklenmesiyle ağ daha da yoğunlaşır ve ağın yarıçapı ile etkin yarıçapı küçülerek stabilize olur. Jure Leskovec ve çalışma arkadaşları, gerçek çizgelerin zaman içinde büyürken yarıçaplarının küçüldüğünü ve ağın yoğunlaştığını ampirik olarak kanıtlamışlardır. Bu durum, seyrek ve kopuk bir ağ yapısından, sıkı ve birbirine çok yakın düğümlerden oluşan yoğun bir ağ yapısına geçişi temsil eder.
Ağların büyüme dinamikleri incelenirken statik ve dinamik özellikler birbirinden ayrılmalıdır. Statik özellikler arasında kalın kuyruklu derece dağılımları, küçük yarıçaplar, topluluk yapıları ve üçlülerin kuvvet yasası yer alır. Dinamik özellikler ise ağ büyüdükçe yarıçapın küçülmesi, ağın yoğunlaşması, küçük bileşenlerin dev bileşen tarafından absorbe edilmesi ve zaman içindeki evre geçişleridir. Bu dinamikler, sosyal ağların nasıl organize olduğunu ve bilgi veya hastalıkların ağ üzerinde ne kadar hızlı yayılabileceğini anlamamızı sağlar.