A1, A2, ..., An kümelerinin kartezyen çarpımının her bir alt kümesine verilen isimdir. Örneğin, R alt kümesi bu kartezyen çarpımın bir parçasıysa, bu küme üzerinde bir n-li bağıntı tanımlanmış olur.

Bir küme üzerinde tanımlı, aynı anda yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan bağıntıdır. Bu bağıntı, kümenin elemanlarını ortak özelliklerine göre ayrık sınıflara ayırır.

Bir denklik bağıntısına göre, bir elemanla ilişkili olan tüm elemanların oluşturduğu alt kümedir. Örneğin, A kümesindeki bir a elemanının denklik sınıfı [a]R şeklinde gösterilir ve a ile bağıntılı tüm elemanları içerir.

Bir küme üzerinde tanımlı, yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahip olan bağıntıdır. Elemanlar arasında bir derece veya öncelik ilişkisi kurmayı sağlar.

Kısmi sıralı sonlu bir kümenin elemanları arasındaki ardıllık ilişkilerini gösteren doğrusal grafiksel çizimdir. Bu diyagramda, elemanlar arasındaki geçişmeli ilişkiler gereksiz çizgilerden arındırılarak sade bir şekilde sunulur.

Bir fonksiyonun hem birebir hem de örten olması durumudur. Bu durumda tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki benzersiz bir elemanla eşleşir ve değer kümesinde açıkta eleman kalmaz.

Bir kümenin her elemanını kendisine eşleyen fonksiyondur ve iA şeklinde gösterilir. Her a elemanı için iA(a) = a eşitliği sağlanır.

İndislerin eşit olması durumunda 1, farklı olması durumunda 0 değerini alan matematiksel fonksiyondur. Birim matrislerin matematiksel tanımında ve gösteriminde sıklıkla kullanılır.

Herhangi iki tamsayı için kalanlı bölme işleminin benzersiz bir bölüm ve kalan ile yapılabileceğini garanti eden teoremdir. x = q.y + r denkleminde kalan r, bölenden her zaman küçüktür.

Yalnızca kendisine ve 1'e bölünebilen, 2'den büyük veya eşit olan tamsayılardır. Tamsayıların çarpanlara ayrılmasında temel yapı taşlarını oluştururlar.

Çarpmaya göre tersi olan, yani kendisiyle çarpıldığında birim matrisi veren bir kare matristir. Bu matrislerin determinantı sıfırdan farklıdır.

Pozitif bir n tamsayısı için, iki tamsayının farkının n ile tam bölünmesini ifade eden bağıntıdır. x ≡ y (mod n) şeklinde gösterilir ve tamsayılar kümesinde bir denklik bağıntısıdır.

Modülo n bağıntısına göre birbirine denk olan tamsayıların oluşturduğu kümedir. Bir x tamsayısının sınıfı, x + nk (k tamsayı) formundaki tüm sayıları içerir.

Modülo n bağıntısına göre oluşan tüm kongrüans sınıflarının kümesidir. Zn = {0, 1, ..., n-1} şeklinde n elemanlı bir küme olarak gösterilir.

ax ≡ ay (mod n) ifadesinde, eğer a ile n sayılarının en büyük ortak böleni 1 ise, a çarpanının elenerek x ≡ y (mod n) yazılabilmesini sağlayan kuraldır.

ax ≡ b (mod n) biçimindeki, bilinmeyen bir x tamsayısını bulmayı amaçlayan modüler denklemdir. Çözümün varlığı ebob(a, n) değerinin b'yi bölmesine bağlıdır.

Zn kümesindeki bir a elemanı için, a · x = 1 eşitliğini sağlayan x elemanıdır. Bir elemanın çarpımsal tersinin olması için modül n ile aralarında asal olması gerekir.

Zn kümesindeki bir a elemanı için, a + x = 0 eşitliğini sağlayan x elemanıdır. Bu eleman her zaman mevcuttur ve n - a formülüyle bulunabilir.

İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak ve bu böleni sayıların doğrusal kombinasyonu olarak yazmak için kullanılan yöntemdir. Modüler aritmetikte çarpımsal ters bulmada sıkça tercih edilir.

Zn kümesinde yapılan işlemlerde diğer elemanı etkilemeyen elemandır. Toplama işlemine göre birim eleman 0, çarpma işlemine göre ise 1 sınıfıdır.

Zn kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan ve sağdan uygulanabilmesini ifade eden, a · (b + c) = (a · b) + (a · c) eşitliğiyle gösterilen özelliktir.

Boş olmayan bir A kümesi için, A x A kartezyen çarpımından A kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin, tamsayılar kümesinde toplama işlemi her iki tamsayıyı yine bir tamsayıya götürdüğü için bir ikili işlemdir.

Sonlu bir küme üzerinde tanımlı bir işlemin tüm olası sonuçlarını gösteren tabloya işlem tablosu veya Cayley tablosu denir. Tablonun satır ve sütunları kümenin elemanlarını gösterir ve kesişimler işlem sonuçlarını içerir.

Bir küme üzerindeki işlemde, elemanların gruplandırılma sırasının sonucu değiştirmemesi özelliğidir. Matematiksel olarak, her x, y, z için x * (y * z) = (x * y) * z eşitliğinin sağlanması durumudur.

Bir küme üzerinde tanımlı işlemde, işleme girdiği her elemanı değiştirmeden bırakan elemandır. Her x için x * e = e * x = x şartını sağlayan e elemanı birim elemandır ve eğer varsa tektir.

Birim elemanı e olan bir işlemde, bir elemanla işleme girdiğinde birim elemanı veren elemandır. a * b = b * a = e şartını sağlayan b elemanına a nın tersi denir.

Boş olmayan bir küme ile üzerinde tanımlı birleşmeli, birim elemanı olan ve her elemanın tersinin bulunduğu bir ikili işlemden oluşan cebirsel yapıdır. Örneğin, tamsayılar kümesi toplama işlemine göre bir gruptur.

Gruptaki işlemin aynı zamanda değişme özelliğine de sahip olduğu, yani her x, y için x * y = y * x eşitliğinin sağlandığı gruplardır. Diğer adı değişmeli gruptur.

Bir G grubunun sahip olduğu eleman sayısıdır ve o(G) veya |G| şeklinde gösterilir. Sonlu gruplarda bu değer bir tamsayı iken, sonsuz gruplarda sonsuzdur.

F bir cisim olmak üzere, F üzerindeki tersi olan (determinantı sıfırdan farklı) 2x2 boyutlu matrislerin çarpma işlemine göre oluşturduğu gruptur ve GL(2, F) ile gösterilir.

Verilen grupların kartezyen çarpımı üzerinde, bileşen bileşen tanımlanan işlemlerle oluşturulan yeni grup yapısıdır. Örneğin, Z2 x Z2 grubu Klein 4-grubu olarak adlandırılan bir direkt toplam grubudur.

Bir G grubunun boş olmayan ve G'deki işlemle kendi başına da grup yapısı gösteren H altkümesidir. H <= G şeklinde gösterilir.

Bir G grubunun kendisinden farklı olan herhangi bir H altgrubudur. Matematiksel olarak H < G sembolüyle ifade edilir.

Bir G grubunun sadece birim elemandan oluşan {e} altgrubudur. Her grubun en temel ve en küçük altgrubudur.

Bir kümedeki herhangi iki elemana grup işlemi uygulandığında elde edilen sonucun yine aynı kümenin elemanı olması durumudur.

Bir altgruptaki her elemanın, grubun işlemine göre tersinin de yine aynı altgrup içinde yer alması zorunluluğudur.

Boş olmayan bir altkümenin altgrup olduğunu, her x ve y için xy^-1 (toplamsal gruplarda x - y) elemanının kümede olduğunu göstererek tek seferde kanıtlayan yöntemdir.

Boş olmayan bir altkümenin altgrup olduğunu kanıtlamak için kapalılık ve ters eleman varlığı koşullarının ayrı ayrı sağlandığını gösteren testtir.

Boş olmayan sonlu bir altkümenin, üst grubun işlemine göre sadece kapalı olmasının onun bir altgrup olması için yeterli olduğunu belirten teoremdir.

Bir grubun, gruptaki tüm diğer elemanlarla değişme özelliğine sahip olan elemanlarının oluşturduğu altgruptur ve Z(G) ile gösterilir.

Girişleri reel sayılardan oluşan, determinantı sıfırdan farklı (tersinir) n x n tipindeki matrislerin çarpma işlemine göre oluşturduğu gruptur.

Boş kümeden farklı bir A kümesinden kendisine tanımlı birebir ve örten fonksiyondur. Örneğin, f(x) = 3x - 5 fonksiyonu reel sayılar kümesi üzerinde bir permütasyondur.

n elemanlı bir küme üzerindeki tüm permütasyonların, fonksiyonların bileşke işlemine göre oluşturduğu gruptur. Bu grubun eleman sayısı n! formülü ile bulunur.

Belirli bir eleman alt kümesini kendi arasında dairesel olarak eşleyen, diğer elemanları ise sabit bırakan permütasyondur. Örneğin, f = (1, 5, 6, 9, 4) uzunluğu 5 olan devirli bir permütasyondur.

n kenarlı düzgün bir çokgenin tüm dönme ve yansımalarının bileşke işlemine göre oluşturduğu 2n elemanlı gruptur. Karenin simetrilerini içeren D4 grubu buna somut bir örnektir.

Bir elemanın bir permütasyon altındaki ardışık görüntülerinin oluşturduğu kümedir. S8'deki bir permütasyonda f(1)=3, f(3)=8, f(8)=4 ve f(4)=1 ise 1'in yörüngesi {1, 3, 8, 4} kümesidir.

Aynı anda hareket ettirdikleri ortak hiçbir elemanı bulunmayan permütasyonlardır. Örneğin, (1, 5, 8) ve (4, 3, 9) permütasyonları ortak eleman barındırmadıkları için ayrıktır.

Yalnızca iki elemanın yerini değiştiren, yani uzunluğu iki olan devirli permütasyondur. Örneğin, (1, 8) ve (10, 20) permütasyonları birer transpozisyondur.

Transpozisyonların çarpımı olarak yazıldığında çift sayıda transpozisyon içeren permütasyondur. Örneğin, f = (1, 3, 2, 4) = (1, 4)(1, 2)(1, 3) üç transpozisyon içerdiğinden tek iken, birim permütasyon (1) = (1, 2)(1, 2) çift permütasyondur.

Sn simetrik grubunun tüm çift permütasyonlarından oluşan alt grubudur. Bu grubun eleman sayısı simetrik grubun eleman sayısının yarısı kadardır, yani n!/2'dir.

Bir G grubunda bir a elemanı için g a g^-1 şeklindeki tüm elemanların oluşturduğu kümedir. S3 grubunda (1, 2) elemanının eşlenik sınıfı cl((1, 2)) = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} kümesidir.

Bir G grubunun boş olmayan bir A altkümesinin elemanları ve bu elemanların terslerinin sonlu çarpımları şeklinde yazılabilen tüm elemanların oluşturduğu kümedir. Eğer A boş küme ise bu küme sadece birim elemandan oluşur.

Bir G grubunu oluşturan veya onun bir altgrubunu üreten kümenin elemanlarına denir; eğer G = <a1, ..., an> ise bu elemanlar grubun üreteçleridir.

Tek bir elemanın tüm tamsayı kuvvetleri (veya toplamsal grupta tamsayı katları) tarafından üretilebilen gruptur. Örneğin, tamsayılar grubu (Z, +) 1 elemanı tarafından üretilen sonsuz devirli bir gruptur.

Bir gruptaki a elemanının ürettiği <a> devirli altgrubunun eleman sayısıdır ve o(a) ile gösterilir. Sonlu gruplarda bu değer, a^m = e şartını sağlayan en küçük pozitif m tamsayısına eşittir.

S3 grubunun tüm elemanlarının (1, 2) ve (1, 3) transpozisyonlarının çarpımları cinsinden yazılabilmesi durumudur; bu durum S3 = <(1, 2), (1, 3)> şeklinde ifade edilir.

Sekiz elemanlı Q8 grubunun i ve j elemanlarının çarpımları ve tersleri yardımıyla üretilebilmesidir; bu grupta Q8 = <i, j> = <i, k> = <j, k> eşitlikleri geçerlidir.

H x K direkt çarpım grubundaki bir (h, k) elemanının mertebesinin, h ve k elemanlarının kendi gruplarındaki mertebelerinin en küçük ortak katı (ekok) olması durumudur.

İki sonlu devirli grubun direkt çarpımının devirli olabilmesi için mertebelerinin en büyük ortak böleninin (ebob) 1 olması, yani aralarında asal olmaları şartıdır.

Toplamsal bir grupta a elemanı tarafından üretilen devirli altgrubun <a> = {n*a | n ∈ Z} şeklinde, yani elemanın tüm tamsayı katları olarak gösterilmesidir.

Devirli bir grubun hangi mertebeden veya yapıda olursa olsun, tüm altgruplarının da kesinlikle devirli birer grup olması gerektiğini belirten temel teoremdir.

İki grup arasında tanımlanan ve grup işlemlerini koruyan fonksiyondur. f(a ⊙ b) = f(a) ⊗ f(b) şartını sağlayan bu fonksiyonlar, grupların cebirsel yapılarının analiz edilmesinde kullanılır.

Birebir (enjektif) olan grup homomorfizmasıdır. Bir homomorfizmanın monomorfizma olması için çekirdeğinin sadece tanım grubunun birim elemanından oluşması gerekir.

Örten (sürjektif) olan grup homomorfizmasıdır. Değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olduğunu garanti eder.

Hem birebir hem de örten olan grup homomorfizmasıdır. İki grubun yapısal olarak tamamen aynı (eş yapılı) olduğunu gösterir.

Tanım ve değer kümeleri aynı grup olan homomorfizmalardır. f: G -> G şeklindeki fonksiyonlar bu sınıfa girer.

Bir grubun kendisinden kendisine tanımlı olan izomorfizmadır. Grubun kendi içindeki simetrilerini ve yapı koruyan dönüşümlerini temsil eder.

Bir homomorfizma altında değer grubunun birim elemanına giden tanım grubu elemanlarının kümesidir. Ker(f) = {x ∈ G : f(x) = e_G'} şeklinde gösterilir.

Bir epimorfizma altında tanım grubunun değer grubundaki görüntüsüdür. f: G -> G' epimorfizması varsa, G' grubuna G'nin homomorfik görüntüsü denir.

Her grubun bir permütasyon grubuna izomorftur olduğunu belirten temel teoremdir. Soyut grupların permütasyonlar aracılığıyla somutlaştırılmasını sağlar.

Aralarında en az bir izomorfizma tanımlanabilen gruplardır. Elemanları veya işlemleri farklı olsa bile cebirsel olarak aynı yapıya sahiptirler ve G ≅ G' ile gösterilirler.

Bir G grubunun boş olmayan A ve B alt kümeleri için, a ∈ A ve b ∈ B olmak üzere tüm ab çarpımlarından oluşan AB kümesidir. Örneğin, toplamsal bir grupta bu işlem A + B şeklinde ifade edilir.

G bir grup, H bu grubun bir altgrubu ve a grubun bir elemanı olmak üzere, Ha = {ha : h ∈ H} şeklinde tanımlanan kümedir. Bu küme, H altgrubunun a elemanı ile sağdan çarpılmasıyla elde edilen elemanları içerir.

G bir grup, H bu grubun bir altgrubu ve a grubun bir elemanı olmak üzere, aH = {ah : h ∈ H} şeklinde tanımlanan kümedir. Sol kosetler, grubun elemanlarının H'nin elemanlarıyla soldan işleme sokulmasıyla oluşur.

G grubu üzerinde a ≡r b (mod H) olması için gerek ve yeter şartın ab⁻¹ ∈ H olması şeklinde tanımlanan denklik bağıntısıdır. Bu bağıntının denklik sınıfları tam olarak H'nin sağ kosetleridir.

G grubu üzerinde a ≡l b (mod H) olması için gerek ve yeter şartın a⁻¹b ∈ H olması şeklinde tanımlanan denklik bağıntısıdır. Bu bağıntının denklik sınıfları H'nin sol kosetlerini oluşturur.

Bir grubun, bir altgrubunun tüm farklı sol (veya sağ) kosetlerinin birleşimi olarak yazılabilmesi ve bu kosetlerin kesişimlerinin boş küme olması durumudur. Bu özellik sayesinde grup, ortak elemanı olmayan alt kümelere bölünmüş olur.

Bir H altgrubunun G grubu içindeki tüm farklı sol (veya sağ) kosetlerinin sayısıdır ve |G : H| sembolüyle gösterilir. Sonlu gruplarda bu değer, grubun mertebesinin altgrubun mertebesine bölünmesiyle bulunur.

Sonlu bir G grubunun her H altgrubunun mertebesinin, G grubunun mertebesini tam bölmek zorunda olduğunu belirten teoremdir. Bu teorem sonlu grupların altgrup yapılarını sınırlandırmada en önemli araçtır.

Bir grubun bir a elemanı için, a'nın ürettiği altgrubun eleman sayısı veya a^n = e eşitliğini sağlayan en küçük pozitif n tam sayısıdır. Lagrange Teoremi gereği bu sayı grubun toplam eleman sayısını tam böler.

İki grup arasında tanımlanan, grupların yapısal olarak birebir aynı olduğunu gösteren birebir ve örten grup homomorfizmasıdır. Örneğin, mertebesi 4 olan ve devirli olmayan her grup Z2 ⊕ Z2 grubuna izomorftur.

Bir G grubunun, her x ∈ G için xH = Hx şartını sağlayan H altgrubudur. Bu durumda sol ve sağ kosetler küme olarak birbirine eşittir ve H ⊴ G şeklinde gösterilir.

S_n simetrik grubundaki çift permütasyonların oluşturduğu normal altgruptur. Örneğin, A₃ = {(1), (1, 2, 3), (1, 3, 2)} grubu S₃ içinde normaldir.

Bir G grubunun, gruptaki tüm elemanlarla değişmeli olan elemanlarının oluşturduğu altgruptur. Z(G) = {x ∈ G : her g ∈ G için gx = xg} şeklinde tanımlanır ve her zaman G içinde normaldir.

Bir θ: G → G' grup homomorfizmasında, G' grubunun birim elemanına eşlenen G elemanlarının kümesidir. Ker θ ile gösterilir ve her zaman G'nin bir normal altgrubudur.

Bir G grubunun normal bir N altgrubuna göre sol kosetlerinin kümesi üzerinde tanımlanan gruptur. İşlemi (aN)(bN) = abN şeklindedir.

Bir G grubundan G/N bölüm grubuna π(a) = aN şeklinde tanımlanan örten grup homomorfizmasıdır. Bu fonksiyonun çekirdeği doğrudan N altgrubuna eşittir.

Bir grubun bir homomorfizma altındaki görüntüsüdür. Doğal epimorfizma örten olduğundan, G/N bölüm grubu G grubunun bir homomorfik görüntüsüdür.

Bir θ: G → G' homomorfizması için G/Ker θ ile Im θ gruplarının birbirine izomorf olduğunu belirten teoremdir. Eğer homomorfizma örten ise G/Ker θ ≅ G' olur.

G grubunun H ve K altgrupları için, K normal olmak üzere H/(H ∩ K) ile HK/K gruplarının izomorf olduğunu ifade eden teoremdir.

H ⊆ K ⊆ G zincirini oluşturan normal altgruplar için (G/H)/(K/H) bölüm grubunun G/K grubuna izomorf olduğunu gösteren teoremdir.

Değişmeli bir grubun verilen altgruplarının elemanlarının toplamlarından oluşan kümedir. Örneğin, H1 ve H2 altgrupları için H1 + H2 = {h1 + h2 : h1 ∈ H1, h2 ∈ H2} şeklinde tanımlanır.

Bir grubun altgruplarının toplam kümesindeki her elemanın tek türlü yazılabildiği özel toplam türüdür. H1 ⊕ H2 ⊕ ... ⊕ Hn şeklinde gösterilir.

Toplam kümesindeki bir elemanın, altgruplardan seçilen elemanların toplamı olarak sadece tek bir biçimde ifade edilebilmesidir. Eğer h1 + ... + hn = h'1 + ... + h'n ise her i için hi = h'i olmalıdır.

Bir toplamın direkt toplam olması için sıfır elemanının sadece sıfırların toplamı şeklinde yazılabilmesi şartıdır. Yani h1 + ... + hn = 0 ise h1 = ... = hn = 0 olmalıdır.

İki altgrubun direkt toplam oluşturabilmesi için kesişimlerinin sadece sıfır elemanından oluşması (H1 ∩ H2 = {0}) koşuludur. Bu koşul, altgrupların bağımsızlığını garanti eder.

G = H1 ⊕ H2 olduğunda, G/H1 ≅ H2 ve G/H2 ≅ H1 şeklinde ortaya çıkan ve bölüm grupları ile altgruplar arasındaki yapısal benzerliği gösteren ilişkidir.

Bir grubun altgruplarının birleşimini içeren en küçük altgruptur. Önerme 10.1.3'e göre, altgrupların toplamının tüm grubu vermesi için grubun bu birleşim tarafından üretilmesi gerekir.

Sonlu altgrupların direkt toplamının eleman sayısı, bu altgrupların eleman sayılarının çarpımına eşittir. Teorem 10.1.7'ye göre |H1 ⊕ ... ⊕ Hn| = |H1| * ... * |Hn| olur.

Elemanları arasında tanımlı işlemin değişme özelliğine sahip olduğu gruptur. Bu bölümdeki tüm direkt toplam analizleri değişmeli gruplar üzerinde gerçekleştirilmiştir.

Değişmeli bir grubun altgruplarının toplam kümesinin de yine aynı grubun bir altgrubu olması durumudur. Teorem 10.1.2 ile bu kümenin altgrup yapısı taşıdığı kanıtlanmıştır.

Her elemanının mertebesi bir p asal sayısının kuvveti olarak yazılabilen gruplara verilen addır. Örneğin, elemanlarının mertebeleri 2'nin kuvvetleri olan Q8 kuaterniyonlar grubu bir 2-gruptur.

Bir G grubunun, elemanlarının mertebeleri bir p asalının kuvveti olan ve kendisi de bir p-grup teşkil eden altgrubudur.

Eleman sayısı sonsuz olmasına rağmen her elemanının mertebesi bir p asalının kuvveti olan gruptur. Q/Z bölüm grubunun H altgrubu buna örnektir.

G sonlu değişmeli grubunda mertebesi p asalının kuvveti olan elemanların kümesidir. Bu küme her zaman G'nin bir altgrubunu oluşturur.

G sonlu grubunun mertebesini bölen en büyük p^m kuvveti için, mertebesi p^m olan altgrubudur. Örneğin, mertebesi 6 olan S3 grubunun mertebesi 3 olan altgrubu bir Sylow 3-altgrubudur.

G grubunun bir H altgrubu ve g elemanı için gHg^(-1) şeklinde tanımlanan altgruptur. Aynı p asalı için tüm Sylow p-altgrupları birbirinin eşleniğidir.

Sonlu bir G grubunun mertebesini bölen her maksimum p^m asal kuvveti için, G'nin mertebesi p^m olan en az bir altgrubunun var olduğunu garanti eden teoremdir.

Bir sonlu grubun aynı p asalı için sahip olduğu tüm Sylow p-altgruplarının birbirine eşlenik olduğunu, yani birbirine dönüştürülebileceğini ifade eden teoremdir.

Bir gruptaki farklı Sylow p-altgruplarının sayısı olan np'nin, grubun mertebesini böldüğünü ve p modunda 1'e denk olduğunu belirten teoremdir.

Birim elemandan oluşan aşikar altgrup ve kendisinden başka hiçbir normal altgrubu bulunmayan gruplara verilen addır.

Mertebesi n olan değişmeli bir grubu bölen her p asal sayısı için, grupta mertebesi p olan en az bir elemanın var olduğunu garanti eden teoremdir.

Aşikar olmayan sonlu bir grubun eleman sayısının (mertebesinin), p bir asal sayı olmak üzere p'nin pozitif bir tamsayı kuvveti (p^k) biçiminde olması durumudur.

G sonlu değişmeli grubunda, mertebesi p asalının bir kuvveti olan elemanların oluşturduğu ve Gp ile gösterilen özel altgruptur.

Grupların kartezyen çarpımı üzerinde tanımlanan ve grupları birleştirerek daha büyük bir grup yapısı elde etmeyi sağlayan cebirsel işlemdir.

Her sonlu değişmeli grubun, asal kuvvet mertebeli devirli grupların direkt toplamına izomorf olduğunu ve izomorf olmayan grup sayısının parçalanış fonksiyonuyla bulunacağını belirten teoremdir.

Bir n pozitif tamsayısının, sırasına bakılmaksızın pozitif tamsayıların toplamı şeklinde kaç farklı yolla yazılabileceğini gösteren fonksiyondur; örneğin p(3)=3'tür.

Aralarında birebir, örten ve grup işlemini koruyan bir eşleme (homomorfizma) bulunan, yapısal olarak tamamen aynı özelliklere sahip gruplardır.

Bir grubun x elemanı için, x^k = e (birim eleman) eşitliğini sağlayan en küçük k pozitif tamsayısıdır.

İki veya daha fazla sayının en büyük ortak böleninin 1 olması durumudur; Zm ⊕ Zn'nin Zmn'ye izomorf olması için bu şart gereklidir.

Bir grubun, kesişimleri sadece birim elemandan oluşan ve çarpımları tüm grubu veren altgruplarının direkt toplamı şeklinde yazılması durumudur.

Bir grubun alt kümesinin altgrup olabilmesi için kümedeki her iki elemanın işleme tabi tutulmasıyla elde edilen sonucun yine aynı kümede kalması şartıdır. Örneğin, çarpımsal grupta iki irrasyonel sayının çarpımı rasyonel olabileceğinden irrasyoneller altgrup oluşturmaz.

İki grup arasında tanımlı, grup işlemlerini koruyan birebir ve örten fonksiyondur. İzomorf gruplar yapısal olarak tamamen aynı özelliklere sahiptir ve birinde geçerli olan cebirsel ilişkiler diğerinde de korunur.

Eleman sayısı bir asal sayıya eşit olan gruptur. Lagrange Teoremi gereğince, bu tür grupların birim grup ve kendisinden başka altgrubu olamaz ve bu gruplar her zaman devirlidir.

Bir G grubunun normal bir H altgrubuna göre oluşturulan tüm yan sınıflarının (kosetlerinin) kümesi üzerinde tanımlanan grup yapısıdır. İşlemi kosetlerin çarpımı şeklinde tanımlanır.

Bir pozitif tam sayının, sırasına bakılmaksızın pozitif tam sayıların toplamı şeklinde kaç farklı şekilde yazılabileceğini gösteren fonksiyondur. Sonlu değişmeli grupların sayısını bulmada kullanılır.

Mertebesi p^k olan ve p'nin daha yüksek bir kuvveti tarafından bölünemeyen, bir G grubunun en büyük p-altgrubudur. Sylow teoremleri bu altgrupların varlığını ve sayısını garanti eder.

Bir grubun, her elemanı için sol yan sınıfının sağ yan sınıfına eşit olduğu (gH = Hg) özel altgrubudur. Bölüm grubu oluşturabilmek için altgrubun normal olması zorunludur.

Verilen grupların kartezyen çarpımı üzerinde, bileşen bazında tanımlanan grup işlemiyle oluşturulan yeni ve daha büyük bir grup yapısıdır. Z210 grubu bu yöntemle daha küçük gruplara ayrıştırılabilir.

Bir grubun tüm elemanlarının, bu kümedeki elemanların ve onların terslerinin sonlu çarpımları şeklinde yazılabildiği en küçük alt kümedir. S3 grubu için {(12), (23)} bir üreteç kümesidir.

Sadece iki elemanın yerini değiştiren ve diğer elemanları sabit bırakan en basit permütasyon türüdür. Her permütasyon transpozisyonların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Bir grubun tek bir elemanının tüm tam sayı kuvvetleri (veya toplamsal grupta katları) alınarak elde edilen altgruptur. Örneğin, $M_2(\mathbb{Z}_6)$ grubunda belirli bir matrisin katlarıyla oluşturulan altgrup bu tanıma uyar.

Simetrik gruptaki tüm çift permütasyonların oluşturduğu ve genel grubun yarısı kadar elemana sahip olan altgruptur. $A_4$ grubu, 4 elemanlı kümenin çift permütasyonlarından oluşan 12 elemanlı bir alterne gruptur.

Bir $G$ grubunun $H$ altgrubu ve bir $g \in G$ elemanı için, $g$ ile $H$'nin tüm elemanlarının soldan çarpımıyla oluşan $gH$ kümesidir. Sol kosetler grubu eşit büyüklükte ayrık alt kümelere böler.

İki grup arasındaki işlemi koruyan, yani her $a, b$ için $f(ab) = f(a)f(b)$ şartını sağlayan fonksiyondur. Gruplar arasındaki yapısal benzerlikleri incelemek için kullanılır.

İki grup arasında tanımlı, hem grup işlemini koruyan (homomorfizma) hem de birebir ve örten olan fonksiyondur. İzomorfik gruplar yapısal olarak tamamen özdeştir.

Gruptaki her $a, b$ eleman çifti için $ab = ba$ işleminin sağlandığı gruptur. Değişmeli olmayan gruplarda elemanların işlem sırası sonucu doğrudan değiştirir.

$n$ moduna göre $n$ ile aralarında asal olan kalan sınıflarının çarpma işlemine göre oluşturduğu gruptur. Örneğin, $U(13)$ grubu 1'den 12'ye kadar olan tüm sayıları içerir.

Kuvvetleri veya katları alındığında grubun tamamını oluşturabilen elemandır. $U(13)$ grubunda 2 elemanı tüm grubu ürettiği için bir üreteçtir.

Bir elemanın kendisiyle ardışık olarak işleme sokulduğunda grubun birim elemanını veren en küçük pozitif tam sayı katı veya kuvvetidir. $M_2(\mathbb{Z}_6)$'daki matrisin mertebesi 3 olarak bulunmuştur.

Sonlu bir grubun her altgrubunun mertebesinin (eleman sayısının), grubun mertebesini tam bölmek zorunda olduğunu belirten temel cebir teoremidir.