Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
Düzlemde dönüşümlerin geometrisinde ölçekleme, bir şeklin boyutlarını belirli oranlarda değiştiren temel bir işlemdir. Bu dönüşümde x-yönündeki ölçek çarpanı 'r' ile, y-yönündeki ölçek çarpanı ise 's' ile gösterilir. Dönüşüm esnasında herhangi bir dönme hareketinin gerçekleşmediği varsayılır. Ölçekleme işlemlerinin en önemli özelliklerinden biri, tüm ölçeklerin daima orijine göre tanımlanmasıdır. Bunun temel sebebi, orijin noktasının (0,0) tüm ölçekleme dönüşümleri altında sabit kalması ve değişmemesidir.
Ölçek çarpanları arasındaki ilişki, dönüşümün türünü belirler. Eğer x ve y yönlerindeki ölçek çarpanları birbirine eşit ise (r = s), bu dönüşüm bir 'benzerlik dönüşümü' olarak adlandırılır. Benzerlik dönüşümünde şeklin genel oranları ve açıları korunur, sadece boyutu homojen bir şekilde değişir. Eğer bu çarpanlar birbirinden farklı ise (r ≠ s), dönüşüm 'afinite' (afin dönüşüm) adını alır. Afinite durumunda şekil farklı yönlerde farklı oranlarda esnetilir veya sıkıştırılır.
Ölçekleme dönüşümleri, geometrik modellemede ve bilgisayar grafiklerinde nesnelerin boyutlandırılmasında sıklıkla kullanılır. Orijine göre yapılan bu işlemler, matris gösterimlerinde köşegen elemanlar olarak yer alır ve dönüşümün doğrusal yapısını korumasını sağlar.
Yansıma dönüşümleri, düzlemdeki noktaların belirli bir doğruya veya eksene göre simetriklerinin alınması işlemidir. Geometrik olarak en temel yansımalar x-eksenine ve y-eksenine göre yapılanlardır. Çok önemli bir teorem olarak; x-eksenine göre yansıma ile y-eksenine göre yansımanın ardışık uygulanması (bileşkesi), düzlemde orijin etrafında 180 derecelik bir dönme hareketine tam olarak denktir.
Düzlemdeki yansıma türlerine göre noktaların koordinatlarında karakteristik değişimler gözlenir. Birinci durumda, y=x doğrusuna göre yansımada noktanın koordinatları sadece yer değiştirir; yani (x, y) noktası (y, x) noktasına dönüşür. İkinci durumda ise, y=-x doğrusuna göre yansımada noktanın koordinatları hem yer değiştirir hem de işaretleri değişir; yani (x, y) noktası (-y, -x) halini alır.
Bu koordinat değişimleri, yansıma matrislerinin yapısını doğrudan belirler. Yansımalar, düzlemin yönelimini (oryantasyonunu) tersine çeviren dönüşümler olmaları yönüyle dönme ve öteleme dönüşümlerinden ayrılırlar.
Öteleme dönüşümü, düzlemdeki bir şekli oluşturan her bir noktayı belirli bir yönde ve aynı uzaklık kadar hareket ettiren bir dönüşümdür. Matematiksel olarak öteleme, düzlemdeki her (x, y) noktasına sabit bir (e, f) vektörünün eklenmesi işlemidir. Bu durum, T(x, y) = (x + e, y + f) şeklinde ifade edilir.
Öteleme dönüşümünü yorumlamanın bir diğer yolu da koordinat sistemini kaydırmaktır. Şekil sabit tutulup koordinat eksenleri kaydırıldığında da noktaların yeni koordinatları öteleme kurallarına göre belirlenir. Öteleme, şeklin biçimini, boyutunu ve yönelimini değiştirmeyen bir izometridir (uzaklık koruyan dönüşüm).
Dönme dönüşümleri ise düzlemdeki noktaların belirli bir merkez (genellikle orijin) etrafında belirli bir açı kadar döndürülmesini içerir. Dönme ve öteleme dönüşümleri birlikte kullanılarak düzlemdeki tüm katı cisim hareketleri (rijit hareketler) modellenebilir.
Matematiksel analiz ve geometride, (X, d) bir metrik uzay olmak üzere, f: X -> X dönüşümü için eğer her x, y ∈ X elemanları için d(f(x), f(y)) < r * d(x, y) koşulu sağlanıyorsa, bu f dönüşümüne bir 'küçültme dönüşümü' (büzülme dönüşümü) denir. Buradaki r sayısı, 0 ≤ r < 1 aralığında yer alan sabit bir reel sayıdır.
Benzerlik ve afinite dönüşümleri, belirli koşullar altında küçültme dönüşümlerine birer örnektir. Eğer benzerlik dönüşümünde ölçek çarpanı r < 1 ise, bu dönüşüm tüm uzaklıkları aynı oranda küçültür. Bunun en belirgin örneği T(x, y) = (rx, ry) şeklinde tanımlanan radyal dönüşümdür ve buradaki küçültme çarpanı doğrudan r'dir.
Afinite dönüşümlerinde ise uzaklıklar farklı yönlerde farklı oranlarda küçültülür. r < 1 ve s < 1 olmak üzere T(x, y) = (rx, sy) dönüşümü bir afinite küçültmesidir. Bu tür dönüşümlerin genel küçültme çarpanı, yönlerdeki küçültme oranlarının en büyüğü (maksimumu) alınarak belirlenir.
Bir afin dönüşümünü matris formunda ifade etmek, bilgisayar grafikleri ve geometrik hesaplamalar için büyük kolaylık sağlar. Genel bir afin dönüşümü; ölçekleme, dönme ve öteleme işlemlerinin birleşiminden oluşur ve homojen koordinatlar kullanılarak tek bir matris çarpımı şeklinde gösterilebilir.
Bu matris ifadesinde kullanılan temel parametreler şunlardır: x-yönündeki ölçek çarpanı 'r', y-yönündeki ölçek çarpanı 's', yatay doğrulara göre dönme açısı 'θ' (theta), dikey doğrulara göre dönme açısı 'φ' (phi), yatay öteleme miktarı 'e' ve dikey öteleme miktarı 'f'.
Bu parametrelerin matris içerisindeki konumları, dönüşümün ardışık olarak nasıl uygulanacağını belirler. Matris gösterimi sayesinde birden fazla dönüşüm tek bir matris çarpımı ile birleştirilebilir ve karmaşık geometrik işlemler hızlıca hesaplanabilir.