Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
Reel analizde Euler formülü kullanılarak elde edilen e^(ix) = cos(x) + i sin(x) ve e^(-ix) = cos(x) - i sin(x) denklemleri, trigonometrik fonksiyonların üstel fonksiyonlar cinsinden yazılmasına olanak tanır. Bu denklemlerden yola çıkılarak, her x reel sayısı için sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i) ve cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2 eşitlikleri elde edilir. Bu matematiksel altyapı, trigonometrik fonksiyonların kompleks düzleme genişletilmesinde en doğal çıkış noktasıdır.
Kompleks z değişkeni için sinüs ve kosinüs fonksiyonları, reel durumdaki formüllere paralel olarak sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz)) / (2i) ve cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz)) / 2 denklemleri ile tanımlanır. Bu fonksiyonlar, tüm kompleks düzlemde analitik olan e^(iz) ve e^(-iz) üstel fonksiyonlarının lineer bileşimleri (toplamları ve farkları) biçiminde ifade edildikleri için, kendileri de tüm kompleks düzlemde analitik, yani birer 'tam fonksiyon' (entire function) olurlar.
z = x + iy kompleks değişkeni sin(z) tanımında yerine yazılıp cebirsel düzenlemeler yapıldığında, sin(z) = sin(x)cosh(y) + i cos(x)sinh(y) ifadesine ulaşılır. Benzer şekilde, kosinüs fonksiyonu için de z = x + iy yazılarak cos(z) = cos(x)cosh(y) - i sin(x)sinh(y) eşitliği elde edilir. Bu formüller, kompleks trigonometrik fonksiyonların reel ve imajiner kısımlarını reel trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar cinsinden açıkça ortaya koyar.
Kompleks sinüs ve kosinüs fonksiyonları tanımlandıktan sonra, diğer dört temel trigonometrik fonksiyon olan tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonları da bu iki temel fonksiyon cinsinden reel analizdeki klasik bağıntılarla tanımlanır.
Buna göre, tan(z) = sin(z)/cos(z) ve cot(z) = cos(z)/sin(z) olarak tanımlanırken; sekant ve kosekant fonksiyonları sırasıyla sec(z) = 1/cos(z) ve csc(z) = 1/sin(z) şeklinde kurulur. Bu fonksiyonlar, paydalarını sıfır yapan noktalar hariç tüm kompleks düzlemde analitiktir.
Reel analizden farklı olarak, kompleks düzlemde sin(z) ve cos(z) fonksiyonları sınırsızdır. Reel değişkenli sin(x) ve cos(x) fonksiyonları [-1, 1] aralığında sınırlı iken, kompleks düzlemde sin(z) = 2 veya cos(z) = sqrt(2) gibi denklemlerin karmaşık çözümleri mevcuttur. Bu durum, hiperbolik fonksiyonların (cosh(y) ve sinh(y)) y sonsuza giderken sınırsız büyümesinden kaynaklanır.
Ters trigonometrik fonksiyonlar, kompleks logaritma fonksiyonu cinsinden çok değerli fonksiyonlar olarak tanımlanır. Örneğin, arcsin(z) fonksiyonu arcsin(z) = -i log[iz + (1 - z^2)^(1/2)] formülüyle ifade edilir. Buradaki çok değerlilik, hem logaritmanın sonsuz çokluktaki dallarından hem de karekök fonksiyonunun çift değerli olmasından kaynaklanır.
Benzer şekilde, arctan(z) fonksiyonu da logaritmik bir açılıma sahiptir. z = arctan(w) denkleminin çözümü aranırken tan(z) = w eşitliği üstel biçimde yazılıp düzenlendiğinde, logaritma içeren bir ifadeye ulaşılır. Bu durum, kompleks düzlemde ters trigonometrik denklemlerin çözümünde logaritmanın temel rolünü gösterir.
Ters hiperbolik fonksiyonlar da benzer logaritmik formüllerle tanımlanır. Örneğin, arctanh(z) fonksiyonu arctanh(z) = (1/2) log[(1 + z)/(1 - z)] formülüyle hesaplanır. Bu fonksiyonların hesaplanmasında kompleks sayının modülü ve argümanı (esas argüman ve genel argüman) kullanılarak logaritma değerleri tek tek veya genel küme olarak belirlenir.