Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
Kompleks analizde, reel sayılardaki üslü ifadelerin genişletilmesi olan kompleks kuvvet kavramı, logaritma fonksiyonu yardımıyla tanımlanır. Sıfırdan farklı bir z kompleks sayısı ve herhangi bir c kompleks sayısı için z'nin c. kuvveti, z^c = e^(c * log(z)) eşitliği ile tanımlanır. Burada log(z) fonksiyonu çok değerli bir fonksiyon olduğundan, z^c ifadesi de genel olarak birden fazla değere (sonsuz çoklukta değere) sahip olur.
Bu çok değerliliğin önüne geçmek ve tek bir fonksiyon dalı üzerinde çalışabilmek için logaritmanın esas dalı kullanılır. log(z) yerine onun Log(z) esas dalı (yani n = 0 durumu) alındığında elde edilen z^c = e^(c * Log(z)) değerine, z^c kompleks kuvvetinin 'esas değeri' adı verilir. Esas değer hesaplanırken argümanın aralığı genellikle (-pi, pi] olarak sınırlandırılır.
Kompleks kuvvetlerin hesaplanmasında Euler formülü (e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)) ve kompleks logaritmanın bileşenleri olan reel doğal logaritma ile argüman kavramları bir arada kullanılır. Bu durum, reel analizdeki üslü sayılardan farklı olarak, bir karmaşık sayının karmaşık kuvvetinin hem reel hem de sanal kısımlarının genlik ve faz değişimlerine yol açmasına neden olur.
Bir z^c ifadesinin bütün değerlerini bulmak için log(z) = ln|z| + i * arg(z) = ln|z| + i * (Arg(z) + 2n*pi) formülü kullanılır. Burada n bir tam sayıdır (n ∈ Z). Bu ifade z^c = e^(c * log(z)) tanımında yerine yazıldığında, her n tam sayısı için farklı bir değer elde edilir. Bu durum, kompleks kuvvetlerin çok değerli doğasını açıkça ortaya koymaktadır.
Örneğin, (1 + i)^i ifadesinin bütün değerleri hesaplanırken, öncelikle tabanın modülü |1 + i| = √2 ve esas argümanı Arg(1 + i) = pi/4 olarak belirlenir. log(1 + i) = ln(√2) + i * (pi/4 + 2n*pi) ifadesi i ile çarpılarak e tabanında üs olarak yazılır. Bu işlem sonucunda e^(-(pi/4 + 2n*pi)) * [cos(ln(√2)) + i * sin(ln(√2))] genel çözümü elde edilir.
Aynı ifadenin esas değerini bulmak için n = 0 alınır. Bu durumda üs kısmındaki çok değerlilik ortadan kalkar ve tek bir değer elde edilir. (1 + i)^i ifadesinin esas değeri e^(-pi/4) * [cos(ln(√2)) + i * sin(ln(√2))] olarak bulunur. Bu değerin reel kısmı Re((1 + i)^i) = e^(-pi/4) * cos(ln(√2)) ve sanal kısmı Im((1 + i)^i) = e^(-pi/4) * sin(ln(√2)) şeklinde ayrıştırılabilir.
Sıfırdan farklı bir z karmaşık sayısı z = r * e^(i*theta) kutupsal formunda yazıldığında, bu sayının i. kuvvetinin (z^i) esas dalı oldukça simetrik ve sade bir yapıya bürünür. |z| > 0 ve -pi < theta < pi olmak üzere, z^i = e^(i * Log(z)) formülü uygulanır. Log(z) = ln(r) + i * theta olduğundan, i * Log(z) = i * ln(r) - theta sonucuna ulaşılır.
Bu üssel ifade e^(i * ln(r) - theta) = e^(-theta) * e^(i * ln(r)) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Euler formülü kullanılarak e^(i * ln(r)) kısmı trigonometrik biçime dönüştürüldüğünde, z^i = e^(-theta) * [cos(ln(r)) + i * sin(ln(r))] denklemi elde edilir. Bu formül, kutupsal koordinatlardaki bir sayının sanal bir kuvvete yükseltilmesinde büyük kolaylık sağlar.
Bu formülden görüleceği üzere, z^i karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü) e^(-theta) değerine eşittir. Bu durum, karmaşık üslerin modül üzerinde doğrudan bir sönümleme veya büyütme etkisi yaratabileceğini, açının (theta) ise yeni karmaşık sayının genliğini belirleyen kritik bir parametre olduğunu gösterir.
Kompleks kuvvetlerin ilginç bir özel durumu, üssün bir reel sayı olması halidir. z sıfırdan farklı bir kompleks sayı ve alfa bir reel sayı (alpha ∈ R) olmak üzere, |z^alpha| = |z|^alpha eşitliği her zaman geçerlidir. Bu eşitliğin ispatı, kompleks kuvvet tanımı ve karmaşık üstel fonksiyonun özelliklerine dayanır.
z^alpha = e^(alpha * log(z)) tanımından yola çıkılarak, log(z) = ln|z| + i * arg(z) ifadesi yerine yazılır. Buradan z^alpha = e^(alpha * ln|z|) * e^(i * alpha * arg(z)) elde edilir. İlk terim e^(ln(|z|^alpha)) = |z|^alpha reel sayısına eşittir. İkinci terim olan e^(i * alpha * arg(z)) ise birim çember üzerinde yer alan ve mutlak değeri 1 olan karmaşık bir sayıdır.
Her iki tarafın mutlak değeri alındığında, |e^(i * alpha * arg(z))| = 1 olduğundan, |z^alpha| = |z|^alpha * 1 = |z|^alpha eşitliği doğrulanmış olur. Bu özellik, karmaşık analizde modül içeren eşitsizliklerin ve limit hesaplamalarının basitleştirilmesinde sıklıkla kullanılan temel bir araçtır.