Ünite 14: Derivatives of Logarithmic Functions — Alıştırmalar
Ders kitabının açık uçlu alıştırmaları. Bunlar çoktan seçmeli sınav sorusu değil — düşünmeni, araştırmanı, kendi cümlelerinle anlatmanı isteyen etkinlikler. Kitabın verdiği örnek yanıtlar kapalı duruyor; önce kendin dene.
Alıştırma 1myders hazırladı
y = log_a(x) fonksiyonunun türev formülünün elde ediliş adımlarını inceleyerek, kapalı türev (implicit differentiation) yönteminin bu ispatta neden ve nasıl kullanıldığını açıklayınız.
Yanıt / ipucu
y = log_a(x) ifadesi a^y = x şeklinde üstel olarak yazılır. Her iki tarafın x'e göre kapalı türevi alındığında zincir kuralı gereği ln(a)*a^y*y' = 1 elde edilir ve buradan y' çekilerek genel türev formülüne ulaşılır.
Alıştırma 2myders hazırladı
y = ln(sin(x)) ve y = ln(x^3 + 1) fonksiyonlarının türevlerini zincir kuralını (chain rule) uygulayarak adım adım hesaplayınız ve sonuçları karşılaştırınız.
Yanıt / ipucu
y = ln(sin(x)) için türev [1/sin(x)] * cos(x) = cot(x) olur. y = ln(x^3 + 1) için ise türev [1/(x^3 + 1)] * 3x^2 = 3x^2 / (x^3 + 1) olarak hesaplanır; her iki çözümde de dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi çarpılmıştır.
Alıştırma 3myders hazırladı
f(x) = ln|x| fonksiyonunun x > 0 ve x < 0 durumları için türevlerini ayrı ayrı hesaplayarak, her iki durumda da sonucun neden 1/x çıktığını gösteriniz.
Yanıt / ipucu
x > 0 için f(x) = ln(x) olup türevi 1/x'tir. x < 0 için f(x) = ln(-x) olur ve zincir kuralıyla türevi [1/(-x)] * (-1) = 1/x olarak bulunur; böylece mutlak değer fonksiyonunun türevi her iki bölgede de aynı sonucu verir.
Alıştırma 4myders hazırladı
y = x^(sqrt(x)) gibi hem tabanında hem de üssünde değişken bulunan fonksiyonların türevini alırken standart kuralların neden yetersiz kaldığını ve 'logaritmik türevleme' yönteminin bu sorunu nasıl çözdüğünü tartışınız.
Yanıt / ipucu
Bu tür fonksiyonlar ne standart üstel ne de kuvvet fonksiyonu kurallarına uyar. Her iki tarafın doğal logaritması (ln) alınarak üs başa katsayı olarak indirilir (ln(y) = sqrt(x)*ln(x)) ve ardından kapalı türev alınarak y' kolayca hesaplanır.
Alıştırma 5myders hazırladı
f(x) = ln(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türev limit tanımından yola çıkarak, e sayısının limit tanımı olan e = lim (n->inf) (1 + 1/n)^n ifadesine nasıl ulaşıldığını araştırıp açıklayınız.
Yanıt / ipucu
f'(1) = lim (h->0) [ln(1+h) - ln(1)]/h = lim (h->0) ln((1+h)^(1/h)) = 1 limit eşitliği yazılır. Logaritmanın sürekliliği kullanılarak lim (h->0) (1+h)^(1/h) = e elde edilir ve h = 1/n dönüşümüyle n sonsuza giderken e sayısının limit tanımına ulaşılır.
