Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
İki katlı integrallerin hesaplanmasında temel araçlardan biri Fubini Teoremleri'dir. B = [a, b] × [c, d] şeklinde tanımlanan dikdörtgensel bölgeler üzerinde sürekli bir f(x, y) fonksiyonunun integrali, integrasyon sırasının değiştirilebileceğini söyler.
Birinci Fubini Teoremi'ne göre, iç içe integraller sırasıyla önce x'e sonra y'ye göre (veya tam tersi) alınabilir. Sınırlar sabit olduğunda bu sıra değişimi integralin sonucunu etkilemez.
Örnek hesaplamalarda, öncelikle içteki integral hesaplanarak dıştaki değişkene bağlı bir ifade elde edilir. Ardından bu ifade dıştaki değişkene göreintegre edilerek nihai sayısal değere ulaşılır. İşlem sırasında kısmiintegrasyon kuralları veya temel türev/integral kuralları aktif olarak kullanılır.
Dikdörtgensel olmayan, sınırları fonksiyonlarla belirlenmiş bölgeler üzerinde iki katlı integral hesaplamak için İkinci Fubini Teoremi kullanılır. Burada x sabit bir [a, b] aralığında değişirken, y değişkeni u(x) ile v(x) eğrileri arasında sınırlıdır.
Bu tür integrallerde içteki integralin sınırları genellikle x'e bağlı fonksiyonlar olur. İç integral çözüldüğünde elde edilen sonuç sadece x'e bağlı bir ifade halini alır.
Son aşamada elde edilen bu tek katlı integral a'dan b'ye kadar x değişkenine göre çözülerek bölge üzerindeki toplam hacim veya integral değeri netleştirilir. Sınırların doğru belirlenmesi çözümün doğruluğu için kritik önem taşır.
Karmaşık bölgeler üzerinde işlem yaparken veya integrali alınması zor fonksiyonlarla karşılaşıldığında değişken değiştirmek (bölge dönüşümü) hayat kurtarır. uv-düzlemindeki bir D bölgesinin xy-düzlemindeki bir B bölgesine dönüştürülmesi bu yöntemin temelidir.
Dönüşüm yapılırken fonksiyonların türevlerinden oluşan Jakobiyen (J) determinantı hesaba dahil edilir. Jakobiyen, alan elemanları arasındaki dönüşüm oranını temsil eder ve mutlak değeri integral içine yazılır.
Özellikle paralelkenar veya doğrusal olmayan karmaşık sınırların bulunduğu durumlarda uygun u ve v dönüşümleri seçilerek integral çok daha basit bir formata indirgenir ve kolayca çözülebilir.
Dairesel simetriye sahip bölgelerde veya çember denklemleri içeren integrallerde dik koordinatlardan kutupsal koordinatlara geçiş yapmak büyük kolaylık sağlar. x = r cos(θ) ve y = r sin(θ) dönüşümleri kullanılır.
Kutupsal koordinatlara geçildiğinde alan elemanı dxdy yerine r dr dθ ifadesi gelir. Buradaki fazladan gelen 'r' çarpanı, kutupsal dönüşümün Jakobiyen determinantından kaynaklanır.
Çemberler, elipsler veya halka şeklindeki (annulus) bölgeler üzerindeki integraller, yarıçap r ve açı θ sınırları belirlenerek kutupsal koordinatlarda çok daha pratik bir şekilde hesaplanabilir.