İstatistik biliminde değişkenler kesikli ve sürekli olmak üzere iki ana gruba ayrılır. Kesikli değişkenler belirli tam sayı değerlerini alırken, sürekli değişkenler belirli bir aralıkta sonsuz sayıda değer alabilirler. Biyoistatistik alanında binlerce sürekli değişken mevcuttur ve her bir değişkenin kendine özgü bir dağılım göstermesi beklenir. Ancak her değişken için ayrı bir ihtimal fonksiyonu geliştirmek ve analiz etmek pratikte imkansızdır. Bu nedenle, sürekli değişkenlerin analizinde teorik populasyon dağılımları kullanılır.
Sürekli populasyon dağılımları, sürekli değişkenlerin gösterdiği teorik yayılımları modellemek amacıyla geliştirilmiştir. En yaygın ve en önemli sürekli populasyon dağılımı normal dağılımdır. Bunun yanı sıra log normal dağılım, gamma dağılımı ve beta dağılımı gibi diğer önemli sürekli dağılımlar da mevcuttur. Bu dağılımlar, araştırma verilerinin doğasına ve değişkenlerin özelliklerine göre seçilerek istatistiksel tahmin ve hipotez testlerinde temel oluştururlar.
Sürekli değişkenlerin ölçümünde genellikle aralık ve oran ölçekleri kullanılır. Gram, santimetre, santimetreküp, kilogram, metrekare gibi metrik olarak belirlenen ağırlık, uzunluk, hacim ve alan özellikleri sürekli değişkenlere örnek teşkil eder. Bu tür veriler doğası gereği normal dağılıma veya normal dağılımdan türetilen diğer sürekli dağılımlara uygunluk gösterirler. Bu durum, sürekli populasyon dağılımlarının biyoistatistikte çok geniş bir kullanım alanına sahip olmasını sağlar.
Normal dağılım, sürekli olasılık dağılımları arasında en yaygın kullanılan ve en önemli olanıdır. Bu dağılım, teoriyi geliştiren bilim insanlarına atfen Gauss Dağılımı veya Gauss-Laplace Dağılımı olarak da adlandırılır. Dağılımın grafiksel gösterimi simetrik bir yapıya sahiptir ve şekli bir çanın dikey kesitine benzediği için yaygın olarak 'Çan Eğrisi' olarak bilinir.
Normal dağılımın matematiksel ihtimal fonksiyonu f(x) = [1 / (σ * √(2π))] * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) formülü ile ifade edilir. Bu formülde yer alan e (2.718) ve π (3.1416) değerleri matematiksel sabitlerdir. Dağılımın şeklini ve sayı doğrusu üzerindeki yerini belirleyen iki temel parametre mevcuttur: değişkenin ortalaması (μ) ve varyansı (σ^2). Standart sapma (σ) ise varyansın kareköküdür.
Normal dağılımda ortalama (μ) dağılımın sayı doğrusu üzerindeki konumunu, yani merkezini belirler. Varyans (σ^2) ise dağılımın yaygınlığını, yani eğrinin sivrilik veya basıklık derecesini belirler. Varyans küçüldükçe eğri dikleşip sivrilir; varyans büyüdükçe eğri basıklaşır ve yayılır. Farklı ortalama ve varyans değerlerine sahip sonsuz sayıda normal dağılım eğrisi çizilebilir, ancak hepsi simetrik çan eğrisi formunu korur.
Sonsuz sayıdaki normal dağılım eğrisiyle işlem yapmanın zorluğunu aşmak amacıyla, tüm normal dağılımlar tek bir standart forma dönüştürülür. Bu standart forma 'Standart Normal Dağılım' veya 'z Dağılımı' adı verilir. Dönüşüm işlemi z = (x - μ) / σ formülü kullanılarak gerçekleştirilir. Bu formül sayesinde her bir gözlem değeri (x), ortalamadan olan sapmasının standart sapma cinsinden ifadesi olan bir 'z skoruna' dönüştürülür.
Standart normal dağılımın en belirgin özelliği, ortalamasının (μz) her zaman 0'a ve varyansının (σz^2) ile standart sapmasının (σz) her zaman 1'e eşit olmasıdır. Bu dönüşüm sayesinde, orijinal ölçü birimleri ne olursa olsun (kg, cm, mg/dl vb.), tüm veriler aynı standart eksende karşılaştırılabilir ve olasılık hesaplamaları tek bir standart tablo (Z tablosu) üzerinden kolayca yapılabilir.
Standart normal dağılım eğrisi, tepe noktasından (0 noktasından) geçen dik çizgiye göre tamamen simetriktir. Eğrinin altında kalan toplam alan 1'e (veya %100'e) eşittir. Simetri özelliği gereği, bu dik çizginin sağında kalan alan 0.5 (%50), solunda kalan alan ise 0.5 (%50) birimdir. Matematiksel olarak P(z > 0) = P(z < 0) = 0.5 eşitliği geçerlidir. z değerleri kural olarak virgülden sonra iki ondalık basamakla hesaplanır.
Merkezi Limit Teoremi, istatistiksel analizlerin ve dağılım teorisinin en temel taşlarından biridir. Bu teoreme göre, orijinal populasyonun dağılımı ne olursa olsun (normal dağılıma uymasa veya dağılımı bilinmese dahi), bu populasyondan çekilen n elemanlı rastgele örneklerin ortalamalarının dağılımı, örnek hacmi (n) büyüdükçe yaklaşık olarak normal dağılım gösterir.
Teoremin bir diğer önemli boyutu, bir özelliğin veya değişkenin çok sayıda bağımsız faktörün ortak etkisiyle şekillenmesi durumunda, o özelliğin populasyondaki dağılımının normal dağılıma uymasıdır. Örneğin, insanlarda boy uzunluğu, vücut ağırlığı, kolesterol düzeyi ve kan şekeri gibi biyolojik değişkenler genetik, beslenme, spor, yaşanılan coğrafya gibi çok sayıda faktörün birleşik etkisiyle belirlenir.
Bu faktörlerin tamamının olumlu veya tamamının olumsuz etkilemesi çok nadir bir durumdur. İnsanların büyük çoğunluğu bu faktörlerin bir kısmının olumlu, bir kısmının olumsuz etkisine maruz kalır. Bu nedenle toplumda çok kısa veya çok uzun boylu bireyler nadir görülürken, çoğunluk ortalama bir değer etrafında yığılır. Merkezi Limit Teoremi sayesinde, çok sayıda faktörün etkisiyle şekillenen metrik ölçümler normal dağılım yaklaşımıyla analiz edilir.
Analitik istatistikte standart normal dağılımdan türetilmiş üç önemli sürekli dağılım daha yaygın olarak kullanılır. Bunlar Student t dağılımı, Ki-kare (χ2) dağılımı ve F dağılımıdır. Bu dağılımlar özellikle hipotez testlerinde, varyans analizlerinde ve kategorik verilerin analizinde kritik rol oynarlar.
Student t dağılımı, örneklem hacminin küçük olduğu (genellikle n < 30) ve populasyon varyansının bilinmediği durumlarda kullanılır. William Gosset tarafından 1908 yılında geliştirilmiştir. t dağılımı, standart normal dağılıma benzer şekilde 0 etrafında simetriktir ancak ona göre daha basık ve yayvandır. Örneklem büyüklüğü (serbestlik derecesi) arttıkça t dağılımı standart normal dağılıma yaklaşır ve sonsuz serbestlik derecesinde iki dağılım birbirine eşitlenir.
Ki-kare (χ2) dağılımı, standart normal dağılım gösteren bağımsız değişkenlerin karelerinin toplamıyla elde edilir. F dağılımı ise iki bağımsız Ki-kare değişkeninin veya iki örnek varyansının birbirine oranı ile elde edilir. Hem Ki-kare hem de F dağılımları sadece pozitif değerler alırlar, sağa çarpık bir şekle sahiptirler ve serbestlik derecesi arttıkça simetrikleşerek normal dağılıma yaklaşırlar.