Ünite 6: Matematiksel İktisat Uygulamaları

Matematiksel İktisat Uygulamaları - kaynak sayfa görseli

Kaynak: ders kitabı, sayfa 175

Ramsey'in Makalesi ve Modern Büyüme Teorisi

Ramsey’in zamanlar arası ayrılabilir fayda fonksiyonu, günümüz modern büyüme teorilerinin başlangıcı kabul edilmekte ve Cobb-Douglas üretim fonksiyonunun temelini oluşturmaktadır.

Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu Örneği

Metinde incelenen Q = 57 * K^(1/4) * L^(3/4) üretim fonksiyonunda, sermaye ve emek iki katına çıkarıldığında çıktı miktarı 4 kat değil, yarısı kadar artış göstermektedir.

Sermaye ve İşçilik Marjinal Verimlilik Sayısal Örneği

Q = 50 * K^0.4 * L^0.6 fonksiyonunda K=750 TL ve L=991 işçilik saati iken, sermayedeki 1 birimlik artış üretimi 23,64 adet, emekteki 1 birimlik artış ise 26,84 adet artırmaktadır.

Ölçeğe Göre Sabit Getiri Testi

Q = 4 * K^0.3 * L^0.7 üretim fonksiyonunda girdiler c = 2 katına çıkarıldığında çıktı da tam 2 katına çıktığından, bu fonksiyon ölçeğe göre sabit getiri (CRS) özelliği taşır.

Anahtar Kavramlar

Cobb-Douglas Üretim FonksiyonuSermaye (K) ve emek (L) girdileri ile teknoloji düzeyini (A) ilişkilendiren, üsleri toplamı ölçeğe göre getiriyi veren en yaygın iktisadi üretim fonksiyonudur. Metinde Q = A * K^alpha * L^(1-alpha) şeklinde ifade edilmiştir.

Ölçeğe Göre GetiriTüm üretim faktörleri belli bir oranda artırıldığında çıktı miktarının ne kadar değişeceğini gösteren uzun dönemli analiz kavramıdır. Sabit, artan ve azalan getiri olmak üzere üç türü bulunur.

Marjinal ÜretkenlikBir üretim faktöründen (sermaye veya emek) birim başına yapılan ek artışın toplam çıktı miktarında meydana getirdiği değişimi gösteren kısmi türev değeridir. Örneğin sermayenin marjinal üretkenliği MPK ile gösterilir.

ElastikiyetBir iktisadi değişkenin yüzde değişiminin, diğer bir değişkendeki yüzde değişimine oranını ifade eden duyarlılık ölçüsüdür. Üretim fonksiyonunda alfa ve beta parametreleri girdi elastikiyetlerini gösterir.

Örümcek Ağı Modeli (Cobweb Model)Üretim süreci gecikmeli olan piyasalarda (özellikle tarım), fiyat ve arz dalgalanmalarının dengeye doğru örümcek ağına benzer bir grafikle hareket ettiğini açıklayan dinamik bir teoremdir.

Otonom TüketimMillî gelir veya faiz oranlarından tamamen bağımsız olarak, gelir sıfır olsa dahi yapılan temel ve zorunlu tüketim harcamasıdır. Tüketim fonksiyonunda C0 ile gösterilir.

Marjinal Tüketim Eğilimi (MTE)Millî gelirdeki 1 birimlik artışın ne kadarının tüketim harcamalarına yönlendirileceğini gösteren katsayıdır. Tüketim fonksiyonunun gelire göre türevine eşittir.

Ortalama Tüketim EğilimiBelirli bir millî gelir düzeyinde yapılan toplam tüketim harcamalarının, o millî gelir seviyesine oranıdır (C/Y). Gelir arttıkça genellikle azalma eğilimi gösterir.

Ölçeğe Göre Sabit Getiri (CRS)Tüm üretim girdileri belirli bir kat (örneğin 2 kat) artırıldığında, çıktı miktarının da tam olarak aynı oranda (2 kat) artması durumudur.

Ölçeğe Göre Artan Getiri (IRS)Tüm üretim girdileri belirli bir oranda artırıldığında, elde edilen çıktı artış oranının girdilerdeki artış oranından daha yüksek olması durumudur.

Ölçeğe Göre Azalan Getiri (DRS)Tüm üretim girdileri artırıldığında çıktı miktarındaki artışın, girdilerdeki artış oranından daha düşük kalması durumudur.

Lagrange ÇarpanıKısıtlı optimizasyon problemlerinde kısıt koşulunu amaç fonksiyonuna bağlamak için kullanılan ve kısıttaki bir gevşemenin amaca etkisini ölçen lambda (λ) parametresidir.

Gecikmeli Arz FonksiyonuÜretim kararı ile ürünün piyasaya çıkışı arasında zaman gecikmesi bulunan durumlarda, cari arzın bir önceki dönemin fiyatına bağlı olmasını ifade eden fonksiyondur.

Dinamik Analizİktisadi değişkenlerin zaman içindeki değişim süreçlerini, dengeden sapmalarını ve yeniden dengeye geliş yollarını inceleyen analiz yöntemidir.

Karşılaştırmalı DurağanlıkMevcut bir dengenin dışsal etkenlerle bozulmasından sonra sistemin ulaştığı yeni denge durumunun eski durumla kıyaslandığı analiz türüdür.

Sermayenin Marjinal Üretkenliği (MPK)Diğer girdiler sabitken sermaye miktarında yapılan 1 birimlik artışın toplam üretim miktarında yaratacağı artış miktarıdır.

Emeğin Marjinal Üretkenliği (MPL)Diğer girdiler sabitken işçilik miktarında yapılan 1 birimlik artışın toplam üretim miktarında yaratacağı artış miktarıdır.

TasarrufMillî gelirden tüketim harcamaları çıktıktan sonra kalan ve gelecekteki yatırımlar için ayrılan kısmı ifade eden iktisadi büyüklüktür (S = Y - C).

Fark DenklemiKesikli zaman serilerinde bugünkü değerin bir önceki dönemin değerine bağlı olarak nasıl değiştiğini gösteren denklemdir.

Toplam Faktör VerimliliğiCobb-Douglas fonksiyonunda 'A' harfi ile gösterilen, kullanılan girdilerin ötesinde genel teknoloji düzeyini ve üretim etkinliğini yansıtan parametredir.

Diğer Önemli Bilgiler

Ölçeğe Göre Azalan Getiri Testi

Q = 3 * K^0.5 * L^0.8 üretim fonksiyonunda c = 2 alındığında çıktı 1,26 kat artmakta ve bu değer 2'den küçük olduğu için ölçeğe göre azalan getiri (DRS) olarak belirlenmektedir.

Doğrusal Tüketim Fonksiyonu Sayısal Değeri

C = 10 + 0.7 * Y şeklinde verilen tüketim fonksiyonunda, millî gelir sıfır olsa dahi 10 milyar TL otonom tüketim yapılmakta ve gelirdeki her artışın yüzde 70'i tüketime gitmektedir.

Temel Tüketim ve Tasarruf İlişkisi Örneği

Temel tüketimin 80 milyar TL ve marjinal tüketim eğiliminin 0,6 olduğu bir ekonomide, net gelir 300 milyar TL olduğunda tüketim 260 milyar TL olmakta, kalan 40 milyar TL ise tasarruf edilmektedir.

Örümcek Ağı Teoremi ve Tarımsal Piyasalar

Örümcek Ağı Teoremi, üretim süreci gerektiren tarımsal malların piyasalarında talep değiştikçe fiyatların denge noktası etrafında dalgalanarak zamanla sönümlendiğini gösterir.

Doğrusal Fark Denklemi ile Fiyat Dinamiği

Q_D = 400 - 20P_t ve Q_S = -50 + 10P_(t-1) arz-talep sisteminde uzun dönem denge fiyatı P* = 15 olarak hesaplanmaktadır.

Lagrange Optimizasyon Uygulaması

Amaç fonksiyonu Z = (xy + 2x) ve kısıtı 60 - 4x - 2y = 0 olan bir kısıtlı optimizasyon probleminde Lagrange çarpanı yardımıyla x=8, y=14 ve lambda=4 olarak çözülmüştür.

Basit Kısıtlı Optimizasyon Çözümü

Amaç fonksiyonu f = xy ve kısıtı x + y = 6 olan optimizasyon probleminde kısmi türevler sıfırlandığında lambda=3, x=3 ve y=3 değerlerine ulaşılmaktadır.

Ortalama Tüketim Eğilimi Değişimi

Metindeki tabloya göre millî gelir 100 milyar TL iken ortalama tüketim meyli 0.90 iken, gelir 140 milyar TL olduğunda bu oran 0.84'e düşmektedir.

Nüfus Değişim Hızı Dinamik Modeli

Dinamik analizde nüfusun zaman içindeki değişim hızı d_H / d_t = t^(-1/2) olarak verildiğinde, ilkel fonksiyon integral alınarak H(t) = 3 * t^(1/2) + c şeklinde elde edilmektedir.

Tüketim Fonksiyonunun Geometrik Gösterimi

Düzlem dik koordinat sisteminde doğrusal tüketim fonksiyonunu gösteren doğrunun dikey ekseni kestiği noktanın ordinatı otonom tüketim harcamalarını (C0) ifade eder.

Marjinal Teknik İkame Oranı (MRCS) Örneği

Metinde yapılan hesaplamaya göre, sermayedeki 3 birimlik azalış karşısında çıktı miktarının değişmemesi için işçilik miktarının 1,65 birim artırılması gerekmektedir.

Sınavda Dikkat Et

Cobb-Douglas üretim fonksiyonlarında üsler toplamının (alfa + beta) 1'e eşit olması durumunda 'ölçeğe göre sabit getiri' olduğunu kesinlikle unutmayın; sınavlarda bu kural çok sık sorulur.
Marjinal üretkenlik hesaplanırken ilgili değişkene göre kısmi türev alındığını, üssün başa çarpım olarak geçip üstün 1 azaltıldığını unutmayın.
Doğrusal tüketim fonksiyonunda (C = C0 + c * Y) otonom tüketimin (C0) sabit terim, marjinal tüketim eğiliminin (c) ise gelirin katsayısı olduğunu karıştırmayın.
Örümcek ağı modelinde talep fonksiyonunun gecikmesiz, arz fonksiyonunun ise bir önceki dönemin fiyatına bağlı olarak gecikmeli olduğunu gözden kaçırmayın.
Kısıtlı optimizasyon sorularında Lagrange fonksiyonu kurulurken kısıtın sıfıra eşitlenmiş formunun lambda ile çarpılarak amaç fonksiyonuna eklendiğini unutmayın.
Ölçeğe göre getiri testlerinde c katsayısının (örneğin c=2) girdilerin yerine konarak parantez dışına nasıl çıkarılacağına dikkat edin; üsler toplanarak dışarı alınır.