Ünite 5: Rassal Değişkenin Beklenen Değeri

12 TV Alıcısı ve Kablo Örneği

12 televizyon alıcısından oluşan bir partide 2 tanesinin kablosu beyazdır. Otel için rassal olarak seçilen 3 televizyon içindeki beyaz kablolu olanların sayısının beklenen değeri hipergeometrik yaklaşım ile 1/2 olarak hesaplanmıştır.

İplik Yarıçapı Ölçüm Yoğunluğu

Bir kumaştaki iplik yarıçapının belirli bir kodla ölçümlerinin olasılık yoğunluğu f(x) = 4 / [\pi(1+x^2)] (0 < x < 1) olarak tanımlanmış ve integral yardımıyla beklenen değeri (2 ln 2) / \pi bulunmuştur.

Hilesiz Zar ve Kuadratik Fonksiyon Örneği

X hilesiz bir zar atılışını temsil ederken, g(x) = 2x^2 + 1 fonksiyonunun beklenen değeri her sonucun 1/6 olasılığı kullanılarak hesaplanmış ve sonuç 94/3 olarak elde edilmiştir.

Üstel Dağılım Benzeri Yoğunluk Örneği

X'in olasılık yoğunluğunun f(x) = e^{-x} (x > 0) olduğu durumda, g(x) = e^{3x/4} fonksiyonunun beklenen değeri integral alınarak 4 sonucuna ulaşılmıştır.

Anahtar Kavramlar

Beklenen DeğerBir rassal değişkenin alabileceği olası tüm değerlerin olasılıkları veya yoğunluklarıyla ağırlıklandırılmış ortalamasıdır. Örneğin, hilesiz bir zarın atılması deneyinde gelen sayının beklenen değeri, tüm yüzlerin değerlerinin 1/6 olasılıkla çarpılıp toplanmasıyla bulunur.

Kesikli Rassal DeğişkenSonumlu veya sayılabilir sonsuz sayıda değer alabilen rassal değişkendir. Bu değişkenlerin olasılıkları bir dağılım tablosu ile gösterilir; örneğin bir partiden çekilen beyaz kablolu TV sayısı kesikli değişkendir.

Sürekli Rassal DeğişkenBelirli bir aralıktaki tüm reel sayı değerlerini alabilen ve olasılıkları nokta bazında değil aralık bazında tanımlanan değişkendir. Örneğin, bir kumaştaki iplik yarıçapı ölçümü sürekli bir rassal değişkendir.

Olasılık DağılımıKesikli bir rassal değişkenin alabileceği her bir olası değerin karşılık gelen olasılık değerlerini gösteren kural veya tablodur. Örneğin, 0, 1, 2 değerlerini alan bir değişken için sırasıyla 6/11, 9/22, 1/22 olasılıklarının atanmasıdır.

Olasılık Yoğunluk FonksiyonuSürekli rassal değişkenlerin belirli aralıklardaki olasılıklarını hesaplamaya yarayan ve integrali alınabilen fonksiyondur. Örneğin, f(x) = 4 / [\pi(1+x^2)] fonksiyonu bu tür bir yoğunluk fonksiyonudur.

Rassal Değişkenin FonksiyonuBir rassal değişkenin değerlerine bağlı olarak oluşturulan yeni bir matematiksel ifadedir. Örneğin X bir zarın sonucuysa, g(x) = 2x^2 + 1 bu değişkenin bir fonksiyonudur.

Lineerlik ÖzelliğiBeklenen değer operatörünün, sabit sayılarla toplama ve çarpma işlemlerini koruma yeteneğidir. Örneğin E(aX + b) ifadesi aE(X) + b şeklinde doğrusal olarak açılabilir.

Ortak Olasılık DağılımıBirden fazla rassal değişkenin (örneğin X ve Y) aynı anda belirli değerleri alma olasılıklarını gösteren dağılımdır. İki değişkenli sistemlerin ortak davranışlarını incelemede kullanılır.

Ortak Olasılık Yoğunluk FonksiyonuBirden fazla sürekli rassal değişkenin birlikte aldığı değerlerin olasılık yoğunluğunu belirten fonksiyondur. Örneğin f(x,y) = (2/7)(x + 2y) ifadesi sürekli ortak yoğunluk fonksiyonudur.

Hipergeometrik Dağılım MantığıAna kütleden yerine koymaksızın yapılan çekimlerde başarı sayısını modellemede kullanılan kombinasyon tabanlı olasılık hesaplama yaklaşımıdır. Metindeki TV örneğinde bu mantık kullanılmıştır.

Diğer Önemli Bilgiler

Aspirin, Yatıştırıcı ve Müshil Örneği

3 aspirin, 2 yatıştırıcı ve 4 müshil ilacının yer aldığı çoklu kategorik örnekte ortak olasılık dağılımı matrisi kurulmuş ve E(X+Y) toplamının beklenen değeri 10/9 olarak hesaplanmıştır.

İki Değişkenli Sürekli Ortak Yoğunluk

X ile Y'nin ortak olasılık yoğunluğu f(x,y) = (2/7)(x + 2y) (0 < x < 1, 1 < y < 2) aralığında veritabanı mantığıyla çift katlı integral kullanılarak E(Y/X^3) 15/84 olarak çözülmüştür.

Temel Kaynakça Eserleri

Ünite materyalinin hazırlanmasında temel alınan kaynaklar arasında I. Miller ve M. Miller'ın John E. Freund'dan çevrilen 'Matematiksel İstatistik' kitabı ile M. Aytaç'ın 'Matematiksel İstatistik' eseri gösterilmektedir.

Sınavda Dikkat Et

Sınavda kesikli ve sürekli rassal değişken formüllerini karıştırmayın; kesikli değişkenler toplam ($\sum$), sürekli değişkenler ise integral ($\int$) gerektirir.
Beklenen değerin lineerlik özelliğinde (E(aX + b) = aE(X) + b), sabit terim olan b'nin dışarı çıkarılırken yutulmadığına, aynen eklendiğine dikkat edin.
Sabit bir sayının beklenen değerinin sıfır değil, sayının kendisi olduğunu unutmayın (E(b) = b).
Rassal değişkenin fonksiyonunun beklenen değeri sorulduğunda (örn. E[g(x)]), fonksiyonun kendisi ile olasılık fonksiyonunun çarpılıp toplandığını/integre edildiğini hatırlayın.
Ortak olasılık dağılımlarında çift katlı işlem (toplam veya integral) yapılması gerektiğini, hem x hem y değişkenlerinin sınırlarına dikkat edilmesi gerektiğini unutmayın.
Zar veya TV seçimi gibi kombinatorik kesikli problemlerde her bir durumun olasılığını doğru tartıp ağırlıklı ortalama formülünü uygulayın.