Bir tesadüfi deneyin tüm mümkün sonuçlarına birer sayısal değer verilerek tesadüfi bir değişken tanımlanabilir. Bu tesadüfi değişkenin alabileceği mümkün sonuçlar, olasılıkları ile birlikte gösterilerek bir olasılık dağılımı yaratılır. Bir tesadüfi değişkenin alabileceği tüm mümkün sonuçların toplamı tam sistem değeri olan 1’dir. Tam sistem değerinin söz konusu mümkün sonuçlara nasıl dağıldığını gösteren yapıya olasılık dağılımı denir.
Olasılık dağılımları, ait oldukları tesadüfi değişkenin kesikli ya da sürekli olma durumuna göre kesikli ve sürekli olasılık dağılımları şeklinde iki ana gruba ayrılır. Tesadüfi değişkenin kesikli olması durumunda kesikli olasılık dağılımı söz konusudur; binom, hipergeometrik ve poisson dağılımları uygulamada en çok karşılaşılan kesikli dağılımlardır. Tesadüfi değişkenin sürekli olması durumunda ise sürekli olasılık dağılımı ortaya çıkar ve bu grubun en önemlilerinden biri normal dağılımdır.
Olasılık dağılımı oluşturulurken, X tesadüfi değişkeninin alabileceği değerler x1, x2, x3, …, xn ve bu değerlerin olasılıkları P(x1), P(x2), P(x3), …, P(xn) olarak gösterilir. Kesişim kümesi bulunmayan, bağdaşmayan olaylarda mümkün tüm sonuçların olasılıkları toplamı tam sistem oluşturur; yani toplam olasılık sigma gösterimiyle 1'e eşittir. Zar atılması deneyi buna somut bir örnektir; her bir yüzün gelme olasılığı 1/6'dır ve toplamları 1'i verir.
Normal dağılım, tabiatta gerçekleşen ya da gözlenen pek çok olayın olasılık dağılımının bu yapıya uygun olması sebebiyle 'normal' olarak adlandırılır. Örneğin bir toplumdaki zekâ testi skorları, yeni doğan bebeklerin doğum ağırlıkları, margarin fabrikasında üretilen paketlerin ağırlıkları veya otobüslerin ulaşım süreleri normal dağılıma uygundur. Gözlem değerlerinin dağılımına bakıldığında, ortalama değer etrafında toplandıkları ve ortalamadan uzaklaştıkça gözlem sayısının azaldığı görülür.
Tüm olasılık dağılımlarında olduğu gibi normal dağılımı da nitelemek üzere iki önemli ölçü kullanılır: Beklenen değer (ortalama, μ) ve standart sapma (σ) veya varyans (σ²). Normal dağılımın şekli simetriktir ve çana benzediği için çan eğrisi olarak da bilinir. Sürekli bir tesadüfi değişken söz konusu olduğu için değişken iki değer arasında sonsuz değer alabilir; bu durum grafikteki noktaların birbirine çok yaklaşarak eğri formunu almasını sağlar.
Normal dağılım eğrisinin orta noktası olan ortalama (μ) değeri, eğrinin altında kalan alanı iki eşit parçaya ayırır; ortalamanın sağında ve solunda kalan alanlar 0,5 olasılığı ifade eder. Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu karmaşık bir integral formülüne dayanır ancak pratikte bu integralleri çözmek yerine z dönüşümü kullanılır. Formülde yer alan π pi sayısını (3.14159...), e ise doğal logaritma tabanını (2.71828...) ifade eder.
Ortalaması ve standart sapması farklı olan her normal dağılım için olasılık hesabı integral çözümlemesi gerektirir. Bu zahmetli hesapları tekrarlamak yerine, z dönüşümü ile herhangi bir normal dağılımı standart normal dağılıma dönüştürmek ve özel hazırlanmış tabloları kullanmak mümkündür. X ~ N(μ, σ) şeklindeki normal dağılan değişken, z dönüşümü sayesinde z ~ N(0,1) yani sıfır ortalama ve bir standart sapma ile normal dağılan standart değişkene çevrilir.
Standart değer (z) dönüşümü, bir gözlem değerinin kendi ortalamasından kaç standart sapma uzağa düştüğünü gösteren bir ölçüdür. Formül z = (Xi - μ) / σ şeklindedir. Bu dönüşüm sayesinde her Xi değerine karşılık bir zi değeri hesaplanır ve önceden hazırlanmış normal olasılık dağılımı tablosu üzerinden olasılıklar kolaylıkla okunur.
Standart normal dağılım tablosu kullanılırken bilinmesi gereken temel kurallar vardır: Eğri altındaki toplam alan daima 1'dir, aritmetik ortalama alanı iki eşit parçaya (0,5 ve 0,5) böler, tablosu ortalama ile ilgili z değeri arasındaki alanı verir ve tablo sadece pozitif z değerleri için düzenlenmiştir. Z değerinin negatif olması sadece ortalamanın altında olduğunu gösterir, simetri nedeniyle olasılık değeri pozitif z ile aynıdır.
Normal dağılım uygulamalarında olasılıklar alan hesabı yapılarak bulunur. Örneğin ortalaması 60 ve standart sapması 12 olan bir testte, tesadüfen seçilen bir adayın 60-70 arasında puan almış olma olasılığını bulmak için öncelikle 70'in z değeri (+0,83) hesaplanır. Tablodan bu z değerine karşılık gelen alan (0,2967) okunarak olasılık %29,67 olarak bulunur.
Eğer iki değer ortalamanın aynı tarafında kalıyorsa (örneğin 70-80 arası), iki ayrı z değeri hesaplanır ve tablodan okunan karşılıklar birbirinden çıkarılır (büyük alandan küçük alan çıkarılır). Değerler ortalamanın farklı taraflarında yer alıyorsa (örneğin 45-75 arası), her iki z için tablo değerleri bulunur ve bu alanlar toplanarak toplam olasılık elde edilir.
Ortalamanın bir kuyruk bölgesinde kalan olasılıklar aranıyorsa (örneğin 80'den fazla veya 45'ten az), ilgili z değerinin ortalamayla arasındaki alan tablodan bulunur ve bu değer ortalamanın yarısını temsil eden 0,5'ten çıkarılır. İki kuyruğun birden istendiği durumlarda ise kuyruk alanları ayrı ayrı hesaplanıp toplanabilir veya 1'den ortadaki alanların toplamı çıkarılabilir.
Normal dağılıma sahip tesadüfi değişkenlerin belirli bir aralıkta değer alma olasılıklarını hesaplamanın yanı sıra, kitlenin içinde kaç birimin ilgili aralıkta değer alacağını da belirleyebiliriz. Hesaplanan olasılık değeri, toplam frekans (n) ile çarpılarak ilgili olasılık alanına düşen gözlem veya birim sayısı kolayca bulunabilir.
İstatistiksel olarak beklenen değer formülü E(X) = n . p şeklindedir. Burada n toplam birim sayısını, p ise ilgili aralığın olasılık değerini ifade eder. Örneğin, bir günde üretilen 1000 adet margarinden 250-255 gram arasında olma olasılığı 0,2357 ise, bu aralıktaki beklenen margari sayısı 1000 x 0,2357 = 235,7 (yaklaşık 236) olarak hesaplanır.
Benzer şekilde, bir konserve fabrikasında ortalama ağırlık 500 gr ve standart sapma 10 gr iken 525 gramdan fazla konserve olma olasılığı 0,0062 bulunmuşsa; günde 5000 konserve üretildiğinde 5000 x 0,0062 = 31 adet konservenin 525 gramdan fazla olması beklenir. Bu yöntem kalite kontrol ve üretim planlamasında yaygın olarak kullanılır.