Ana Sayfa » Anadolu Üniversitesi AÖF » İşletme Lisans Programı » İstatistik 2

İstatistik 2

Ünite 3: İstatistiksel Karar Alma

Margarin Paketi Ağırlık Kontrolü Örneği

250 gramlık paketler üreten bir fabrikada 100 paketlik rassal örneklem seçilmiş, ortalama 244 gram ve standart sapma 18 gram bulunmuştur. α = 0.05 anlam düzeyinde yapılan iki yönlü z testinde z_hes = -3.33 çıkmış ve H0 hipotezi reddedilerek sistemin standartta üretim yapmadığı kanıtlanmıştır.

Paketleme Süresini İndirme İddiası

Yeni paketleme sisteminin süreyi 15 dakikanın altına indirdiği iddia edilmiş, 225 ürünlük örneklemde ortalama 13 dakika ve standart sapma 4.2 dakika saptanmıştır. α = 0.01 düzeyinde yapılan tek yönlü alt kuyruk z testinde z_hes = -7.142 bulunarak iddianın doğru olduğu kanıtlanmıştır.

Su Dolum Tesisi Damacana Örneği

22 litre su doldurması planlanan sistemden 17 damacana seçilmiş, ortalama 21.7 litre ve standart sapma 0.8 litre hesaplanmıştır. Küçük örneklem t testi (n < 30) ile α = 0.01 düzeyinde yapılan testte t_hes = 1.5 < t_tab = 2.921 çıkmış ve sistemin doğru çalıştığı (H0 kabul) kararlaştırılmıştır.

Özel Dershane Sınav Başarısı Oran Testi

Bir dershane yetkilisi kazananların oranının %80'den fazla olduğunu iddia etmiş, 120 öğrenciden 102'sinin kazandığı görülmüştür (p = 0.85). α = 0.05 düzeyinde yapılan z testinde z_hes = 1.38 < z_tab = 1.645 çıktığı için H0 kabul edilmiş ve yetkilinin iddiasının yanlış olduğu anlaşılmıştır.

Anahtar Kavramlar

Sıfır Hipotezi (H0)Evren parametre değeri hakkında ileri sürülen ve test edilen, parametre ile örneklem istatistiği arasında anlamlı bir fark olmadığını savunan temel hipotezdir. Örneğin H0: μ = 250 gram şeklinde ifade edilerek üretim standardının korunduğu test edilir.

Karşıt Hipotez (H1)Sıfır hipotezini çürüten, parametrede anlamlı bir farklılık veya etki beklendiğini ifade eden araştırma hipotezidir. Örneğin H1: μ ≠ 250 gram şeklinde çift yönlü olarak kurulabilir.

I. Tip Hata (Alfa Hata)Gerçekte doğru olan sıfır hipotezinin (H0), örneklem verilerine dayanılarak yanlışlıkla reddedilmesi durumunda işlenen hatadır. Sosyal bilimlerde bu hatanın maksimum olasılığı genellikle α = 0.05 veya 0.01 olarak seçilir.

Anlamlılık DüzeyiDoğru olan sıfır hipotezini reddetme riskinin üst sınırını gösteren ve araştırmacı tarafından veri toplamadan önce belirlenen alfa (α) olasılık değeridir.

Red BölgesiÖrnekleme dağılımında, sıfır hipotezi doğru olduğunda beklenmeyen ve H0 hipotezinin reddedilmesine yol açan örneklem istatistiği değerleri aralığıdır.

Kabul BölgesiÖrnekleme dağılımında, sıfır hipotezinin reddedilmesini gerektirecek yeterli kanıt bulunmadığı için H0 hipotezinin kabul edilmesine neden olan değerler aralığıdır.

II. Tip Hata (Beta Hata)Gerçekte yanlış olan sıfır hipotezinin, örneklem verilerine dayanarak araştırmacı tarafından kabul edilmesi durumunda işlenen hatadır.

Test İstatistiğiÖrneklem istatistiği değeri ile evrenin sıfır hipotezindeki değeri arasındaki farkın standart hata birimiyle ifade edilmiş standartlaştırılmış değeridir.

Kritik Değerİstatistiğin örnekleme dağılımında red ve kabul bölgelerini birbirinden ayıran, tablodan bulunan sınır değerdir (örneğin z_tab = 1.96).

İki Yönlü TestKarşıt hipotezin yön belirtmediği, parametreden hem küçük hem de büyük yöndeki sapmaların kararı etkilediği test türüdür (H1: θ ≠ θ0).

Tek Yönlü Üst Kuyruk TestiKarşıt hipotezin parametreden büyük yönlü sapmaları kapsadığı, red bölgesinin dağılımın sağ ucunda yer aldığı testtir (H1: θ > θ0).

Tek Yönlü Alt Kuyruk TestiKarşıt hipotezin parametreden küçük yönlü sapmaları kapsadığı, red bölgesinin dağılımın sol ucunda yer aldığı testtir (H1: θ < θ0).

Büyük Örneklem TestiÖrneklem hacminin n ≥ 30 olduğu durumlarda normal dağılım varsayımıyla z istatistiği kullanılarak yapılan hipotez testidir.

Küçük Örneklem TestiÖrneklem hacminin n < 30 olduğu ve evren standart sapmasının bilinmediği durumlarda t dağılımı kullanılarak yapılan hipotez testidir.

Evren Oranı (π)İki şıklı veya iki şıkka indirgenmiş nitel bir değişkenin herhangi bir şıkkına sahip birimlerinin evrendeki oranını ifade eden parametredir.

Örneklem Oranı (p)Rassal örneklemde ilgilenilen niteliğe sahip birim sayısının örneklem hacmine oranıdır (p = r / n).

Bağımsız ÖrneklemlerBir evrenden seçilen örneklemin birimlerinin diğer evrenden seçilen örneklemin birimlerini hiçbir şekilde etkilemediği durumdur.

Tek Yönlü Varyans Çözümlemesi (ANOVA)İkiden fazla grubun evren ortalamalarının birbirine eşit olup olmadığını test etmek amacıyla kullanılan istatistiksel tekniktir.

F TestiVaryans çözümlemesinde gruplar arası varyansın gruplar içi varyansa oranlanmasıyla elde edilen ve ikiden fazla ortalamayı karşılaştırmada kullanılan test istatistiğidir.

Gruplar Arası Değişkenlik (SSB)Grup örneklem ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının ağırlıklı kareler toplamını ölçen varyans bileşenidir.

Gruplar İçi Değişkenlik (SSE)Her gruptaki gözlem değerlerinin kendi grup ortalamasından sapmalarının kareleri toplamını ve rassal değişimi ölçen bileşendir.

Serbestlik DerecesiBir istatistik hesaplanırken bağımsız olarak değişebilen gözlem sayısıdır; örneğin tek yönlü ANOVA'da gruplar arası serbestlik derecesi sd1 = r - 1'dir.

FaktörVaryans çözümlemesinde gözlem değerlerinin gruplandırıldığı kategorik bağımsız değişkendir.

Standart HataÖrneklem istatistiğinin örnekleme dağılımının standart sapmasıdır; örneğin ortalamanın standart hatası s_x = s / √n dir.

Yansız TahminleyiciÖrneklem istatistiğinden elde edilen ve beklenen değeri ilgili evren parametresine eşit olan tahmin edicidir (örneğin X̄ ortalaması μ'nün yansız tahminleyicisidir).

Diğer Önemli Bilgiler

Yemek Firması Müşteri Memnuniyeti Testi

Yemek firması memnun olmayanların oranının %10'dan az olduğunu iddia etmiş, 150 müşteriden 12'sinin memnun olmadığı (p = 0.08) saptanmıştır. α = 0.01 düzeyinde yapılan alt kuyruk z testinde z_hes = -0.83 bulunmuş, H0 kabul edilerek oranın %10'dan az olmadığına karar verilmiştir.

Lojistik Firması Lastik Ömrü Karşılaştırması

A ve B firmalarının lastiklerini karşılaştırmak için A'dan 100 (X̄1 = 45000 km, s1 = 2000), B'den 150 adet (X̄2 = 40000 km, s2 = 2500) seçilmiştir. α = 0.05 düzeyinde yapılan iki evren ortalaması fark testinde z_hes = 17.5 > 1.64 çıkmış, A firması lastiklerinin daha uzun ömürlü olduğu kanıtlanmıştır.

İki Ayrı İldeki İşgören Ücretleri Küçük Örneklem Testi

A ve B illerinden 15'er işgören seçilmiş, A ili ortalaması 2000 TL (s1=100), B ili ortalaması 1800 TL (s2=120) bulunmuştur. α = 0.01 düzeyinde serbestlik derecesi 28 olan t testinde t_hes = 4.781 > 2.763 çıkmış, A ilindeki ücretlerin anlamlı şekilde yüksek olduğu belirlenmiştir.

Fen ve Anadolu Lisesi YGS Başarı Oranı Testi

Fen lisesinden 80 (p1 = 0.80) ve anadolu lisesinden 70 öğrenci (p2 = 0.74) seçilerek lisans tercih başarısı incelenmiştir. α = 0.05 düzeyinde yapılan iki oran farkı testinde z_hes = 0.87 < 1.64 çıkmış, iki grup arasında anlamlı fark olmadığı (H0 kabul) görülmüştür.

Eğitim Yöntemleri Başarı Puanları ANOVA Örneği

Üç farklı eğitim yöntemi (A, B, C) uygulanan okullardan 5'er öğrenci (toplam 15 öğrenci) seçilerek başarı puanları incelenmiştir. Yapılan tek yönlü varyans çözümlemesinde F_hes = 2.69 ve F_tab (α=0.05, sd1=2, sd2=12) = 3.88 bulunmuş, yöntemler arası farkın anlamlı olmadığı sonucuna varılmıştır.

Karl Pearson ve Ki-Kare Testi

1900'lü yıllarda Karl Pearson tarafından geliştirilen ki-kare testi, sayısal olmayan (nitel) değişkenler arasındaki bağımsızlığı, uyum iyiliğini ve homojenliği test etmek amacıyla kontenjans tabloları yardımıyla uygulanan istatistiksel bir yöntemdir.

Çoklu Testlerde Yanlış Karar Riskinin Artması

Grup sayısı r = 4 olduğunda ikili z veya t testleri 6 kez uygulanmalıdır. Güven düzeyi 0.95 iken tüm testlerde doğru karar verme olasılığı 0.95^6 = 0.735'e düşer; bu durum ikiden fazla grup için F testinin zorunlu olduğunu gösterir.

Örneklem Hacmi Sabitken Hata Oranları İlişkisi

Hipotez testlerinde örneklem hacmi sabit tutulduğunda, I. Tip hata yapma olasılığını (α) azaltmak, II. Tip hata yapma olasılığının (β) artmasına yol açmaktadır; bu iki hata türü birbiriyle ters ilişkilidir.

Büyük Örneklem Eşik Sınırı (n ≥ 30)

İstatistiksel testlerde örneklem hacminin 30 veya daha fazla olması (n ≥ 30), merkezi limit teoremi gereği örneklem istatistiklerinin dağılımının normal dağılıma yaklaşmasını sağladığı için z testlerinin kullanılabilmesine olanak tanır.

Sigara Alışkanlığı ve Eğitim Düzeyi Kontenjans Tablosu

300 kişiden oluşan örneklem üzerinde katılımcıların eğitim düzeyleri (ilk, orta, yüksek) ile sigara içme alışkanlıkları arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla kontenjans (çift yönlü frekans) tablosu oluşturularak ki-kare bağımsızlık testi altyapısı kurulmuştur.

Sosyal Bilimlerde Alpha (α) Değeri Tercihi

Sosyal bilimler ve işletme araştırmalarındaki veri yapıları ve hata toleransları göz önüne alınarak, anlamlılık düzeyi (α) genellikle standart olarak %5 (0.05) veya daha katı durumlarda %1 (0.01) olarak benimsenmektedir.

Sınavda Dikkat Et

Hipotez testlerinde sıfır hipotezinin (H0) her zaman eşitlik (=) içerdiğini, karşıt hipotezin (H1) ise aranan iddiaya göre (<, >, ≠) kurulduğunu unutmayın; sınav sorularında hipotez kurulumu sıklıkla sorulmaktadır.
Örneklem hacminin n ≥ 30 olduğu durumlarda z dağılımının, n < 30 olduğu küçük örneklemlerde ise t dağılımının kullanılacağını kesinlikle karıştırmayın.
İki yönlü testlerde α anlamlılık düzeyinin ikiye bölünerek (α/2) dağılımın her iki kuyruğuna dağıtıldığını (örneğin α=0.05 için 0.025), tek yönlü testlerde ise tüm alfa değerinin tek kuyrukta yer aldığını unutmayın.
İkiden fazla grup ortalamasının karşılaştırılmasında çoklu t veya z testleri yapmanın I. Tip hata riskini artıracağı için tek yönlü varyans çözümlemesi (F testi) yapılması gerektiği sınavda karşınıza çıkabilir.
F testinde serbestlik derecelerinin sd1 = r - 1 (gruplar arası) ve sd2 = n_T - r (gruplar içi) şeklinde hesaplandığını formül soruları için mutlaka ezberleyin.
I. Tip hata (alfa) ile II. Tip hata (beta) kavramlarının tanımlarını karıştırmayın; I. Tip hata doğru olan H0'ı reddetmek, II. Tip hata ise yanlış olan H0'ı kabul etmektir.
Ki-kare testinin sayısal olmayan (nitel) değişkenler arasındaki bağımsızlığı test etmek için Karl Pearson tarafından geliştirildiğini ve kontenjans tablolarıyla kullanıldığını unutmayın.