Ünite 8: Çok Amaçlı En İyileme Problemleri ve Hedef Programlama

Örnek 8.6 Mandıracı Problemi

Mandıracı, 3 farklı dükkana tereyağı göndermek istemektedir. D1, D2 ve D3 dükkanları için sırasıyla 40, 60 ve 35 tonluk hedefler belirlenmiştir.

Kamyon Şirketi Kapasiteleri

K1 türü kamyon D1'e 7, D2'ye 10, D3'e 5 ton taşırken; K2 türü kamyon D1'e 3, D2'ye 5, D3'e 4 ton taşımaktadır.

Kamyon Kira Maliyetleri

K1 türü kamyonun günlük kira maliyeti 1000 TL, K2 türü kamyonun günlük kira maliyeti ise 600 TL olarak belirlenmiştir.

Toplam Bütçe Limiti

Mandıracının ürün taşıma işlemi için ayırdığı toplam günlük bütçe 6000 TL ile sınırlandırılmıştır.

Anahtar Kavramlar

Çok Amaçlı En İyilemeBirden fazla ve genellikle birbirine rakip amaç fonksiyonunun aynı anda optimize edilmeye çalışıldığı karar verme sürecidir. Örn: Hem maliyeti düşürmek hem de kaliteyi artırmak.

Hedef ProgramlamaBelirlenen hedeflerden sapmaların en küçüklenmesini amaçlayan, çok amaçlı problemlerin çözümünde kullanılan bir yöntemdir. Örn: Üretim hedefini tutturamama durumunda oluşan eksikliği minimize etmek.

Pozitif Sapma (si+)Gerçekleşen değerin hedefin üzerinde olduğu durumu ifade eden değişkendir. Örn: 40 ton hedefi varken 42 ton gönderilmesi durumunda s+ = 2 olur.

Negatif Sapma (si-)Gerçekleşen değerin hedefin altında olduğu durumu ifade eden değişkendir. Örn: 40 ton hedefi varken 35 ton gönderilmesi durumunda s- = 5 olur.

Sapma Çarpım Kısıtısi+ * si- = 0 kısıtıdır; bir hedeften aynı anda hem fazla hem de eksik sapılamayacağını garanti eder. Simpleks çözümünde temeldir.

Ağırlıklandırılmış Toplam YöntemiÇok amaçlı problemleri, amaçlara ağırlık vererek tek bir amaç fonksiyonuna indirgeme yöntemidir. Örn: Kar hedefine 0.7, maliyet hedefine 0.3 ağırlık vermek.

Öncelikli Hedef ProgramlamaHedeflerin önem sırasına göre dizilerek, önce en önemli hedefin minimize edildiği, sonra diğerlerine geçildiği yöntemdir.

Etkin ÇözümBir amaç iyileştirilirken diğerinin kötüleşmek zorunda kaldığı, baskın olmayan çözüm noktaları kümesidir.

Ödünleşim (Trade-off)Bir hedefin daha iyi olması için diğerinden vazgeçilmesi durumudur. Örn: Daha hızlı teslimat için daha yüksek nakliye maliyetine katlanmak.

Karar DeğişkeniProblemin çözümünde miktarı belirlenmesi gereken değişkenlerdir. Örn: Örnekteki K1 ve K2 kamyon sayıları (x1, x2).

Hedef KısıtıKarar vericinin ulaşmak istediği spesifik bir değerdir. Örn: D1 dükkanına en az 40 ton ürün gitmesi hedefi.

Bütçe KısıtıKaynakların sınırlı olduğunu belirten matematiksel sınırlamadır. Örn: Toplam taşıma maliyetinin 6000 TL'yi geçmemesi.

Simpleks AlgoritmaDoğrusal programlama problemlerini çözmek için kullanılan, değişkenlerin temel ve temel dışı olarak ayrıştırıldığı iteratif bir yöntemdir.

SkalerleştirmeÇok amaçlı bir problemi tek bir amaç fonksiyonuna dönüştürme işlemidir.

Baskın ÇözümBir çözümün, diğer tüm amaçlar için en az aynı derecede iyi ve en az bir amaç için daha iyi olduğu durumdur.

Grafik Çözüm Yöntemiİki değişkenli problemlerin kısıt doğruları çizilerek çözüm alanının görsel olarak belirlenmesi yöntemidir.

Kayıp Satış TazminatıHedefin tutturulamaması durumunda ortaya çıkan maliyet veya ceza değeridir.

Sapma DeğişkeniHedef ile gerçekleşen değer arasındaki farkı ölçen, negatif olmayan yardımcı değişkenlerdir.

Uygun Çözüm AlanıTüm kısıtları sağlayan karar değişkenlerinin oluşturduğu bölgedir.

Amaç FonksiyonuMinimize veya maximize edilmek istenen matematiksel ifadedir. Örn: Toplam sapmaların minimize edilmesi.

Diğer Önemli Bilgiler

Örnek 8.6 İlk Çözüm Durumu

Yapılan analizler sonucunda, Mandıracının tüm hedeflerini aynı anda sağlayacak uygun bir çözümün (grafiksel olarak) bulunmadığı görülmüştür.

Mandıracının Öncelik Sıralaması

Mandıracı, hedeflerini D1 (1. öncelik), D2 (2. öncelik) ve D3 (3. öncelik) şeklinde sıralamıştır.

En İyi Çözüm Noktası (6,0)

Öncelikli hedef programlama sonucunda Mandıracı için en iyi çözüm 6 adet K1 kamyonu ve 0 adet K2 kamyonu kullanmak olarak bulunmuştur.

D1 Hedefinin Sonucu

En iyi çözümde D1 dükkanına 42 ton ürün gitmiş, hedef 40 ton olduğu için 2 tonluk pozitif sapma (s1+=2) oluşmuştur.

D2 Hedefinin Sonucu

En iyi çözümde D2 dükkanına tam 60 ton ürün gitmiş, sapma değişkenleri sıfır (s2+=0, s2-=0) olmuştur.

D3 Hedefinin Sonucu

En iyi çözümde D3 dükkanına 30 ton ürün gitmiş, hedef 35 ton olduğu için 5 tonluk negatif sapma (s3-=5) oluşmuştur.

Ceza Katsayıları Yaklaşımı

Öncelik yerine D1 için 20.000 TL, D2 için 10.000 TL ve D3 için 5.000 TL ceza uygulanarak da aynı çözüm noktasına ulaşılabilmektedir.

Araştır 1 Problemi

Çok amaçlı bir problemde w1=(1,1), w2=(3,1) ve w3=(1,3) ağırlık katsayıları kullanılarak farklı etkin çözümler elde edilmiştir.

Araştır 2 Öncelik Değişimi

Öncelik sırası D3, D2, D1 olarak değiştirildiğinde, çözüm noktası (3,5) olarak değişmiş ve K1'den 3, K2'den 5 adet kullanılması gerekmiştir.

Araştır 2 Sonuç Yorumu

Bu yeni öncelik sıralamasında D3 hedefi tam tutturulmuş, D1 ve D2 hedeflerinde ise sırasıyla 4 ve 5 tonluk eksiklikler oluşmuştur.

Sınavda Dikkat Et

Sapma değişkenlerinin (si+ ve si-) her zaman negatif olmayan sayılar olduğunu unutmayın; sınavda negatif sapma değeri negatif çıkamaz.
Hedef 'en az' ise negatif sapmanın (si-), hedef 'en fazla' ise pozitif sapmanın (si+) minimize edileceğini karıştırmayın.
si+ * si- = 0 kısıtının, bir hedeften aynı anda hem fazla hem de eksik sapılamayacağını ifade ettiğini mutlaka hatırlayın.
Öncelikli hedef programlamada, bir önceki hedefin çözüm kümesinin bir sonraki hedef için kısıt oluşturduğunu unutmayın.
Tablo okuma sorularında satır ve sütun kesişimlerine dikkat edin; yanlış satırı okumak tüm hesaplamayı bozar.
Grafik çözümde, sapma değişkenlerinin ok yönlerinin artış yönünü gösterdiğini, çözümün ise bu sapmaların en küçük olduğu bölgede arandığını hatırlayın.