Sağ taraf sabitleri sıfır olan homojen denklem sistemlerinde (0, 0, 0) noktası sistemi her zaman sağlar. Bu nedenle homojen denklem sistemlerinin çözümsüz olma ihtimali yoktur, her zaman en az bir çözümü bulunur.
Uygulama kısmında 3 kg portakal ve 2 kg elmanın 16 TL, 3 kg portakal ve 1 kg elmanın ise 11 TL olduğu verilerek kurulan denklem sistemiyle elmanın kg fiyatının 5 TL, portakalın kg fiyatının ise 2 TL olduğu hesaplanmıştır.
Kare bir matrisin determinantı sıfıra eşitse (|A| = 0), bu matrise tekil matris denir. Tekil matrislerin rankı boyutlarından küçüktür ve bu durum satır/sütunlar arasında lineer bağımlılık olduğunu gösterir.
Bölüm sorularında 2 bardak çay ile 4 kutu kolanın 22 TL, 3 bardak çay ile 1 kutu kolanın 13 TL tuttuğu belirtilerek uygun denklem takımının kurulması istenmiş ve doğru model 2Ç + 4K = 22 ve 3Ç + K = 13 olarak verilmiştir.
3x4 boyutlu bir matrise elementer satır işlemleri (-2R1 + R2 ve 4R1 + R3) uygulanarak üst üçgen forma getirilmiş, sıfırdan farklı 3 satır elde edilerek matrisin rankının 3 olduğu pratik olarak gösterilmiştir.
r(A) = r(A|b) = n ise tek çözüm; r(A) = r(A|b) < n ise sonsuz çözüm; r(A) farkıdır r(A|b) ise hiç çözüm yoktur kuralı, tüm doğrusal denklem sistemlerinin çözüm varlığını test etmek için temel alınır.
A = [3 5; 2 1; 9 15] gibi 3x2 boyutundaki kare olmayan matrislerde determinant hesaplanamaz; bunun yerine olası 2x2 boyutlu alt matrislerin determinantları incelenerek rankın en fazla 2 olabileceği kanıtlanır.
Örnek sorularda [10 k; 2 3].[s t] = [5 1] denklem sisteminin sonsuz çözüme sahip olması durumunda, katsayı matris determinantının ve rank uyumunun sağlanmasıyla k değerinin 15 olduğu hesaplanmıştır.