Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
George Boole’un mantık alanındaki çalışmalarının ardından mantıktaki bir sonraki büyük dönüm noktası Gottlob Frege (1848-1925) tarafından gerçekleştirilmiştir. Boole mantığı matematiğin bir alt dalı olarak göstermeyi amaçlarken, Frege tam tersi bir yaklaşımla aritmetiğin mantık ile tamamen özdeş olduğunu kanıtlamak istemiştir. İlk bakışta bu iki program birbirine zıt gibi görünse de aslında aralarında derin bir çelişki yoktur; çünkü Boole mantığın sayı cebrine benzeyen bir hesap olarak gösterimiyle ilgilenirken, Frege mantık biliminde formel kesinliği en üst düzeye taşımıştır.
Frege, aritmetiğin mantığın bir detaylandırması olduğunu savunmuş ancak o tarihe kadar kimsenin bunu yeterince detaylı ve titiz bir şekilde göstermediğini fark etmiştir. Bu tezi hayata geçirebilmek için iki temel koşulun yerine getirilmesi gerektiğini anlamıştır: İlk olarak geleneksel mantık malzemesi önerme formlarının çeşitliliğini açıkça ortaya koyacak biçimde düzenlenmeli, ikinci olarak ise teoremlerin ispatı için gereken her şey baştan serimlenerek dedüksiyon yöntemi az sayıda standart harekete indirgenmelidir.
Bu amaç doğrultusunda Frege, 1879 yılında 'Begriffsschrift' (Kavram Yazısı, Saf Düşüncenin Aritmetikten Türemiş Formel Dili) adlı çığır açan eserini yayımlamıştır. Bu eser, günlük dilin gramerinin belirsizliklerinden mantığı kurtarmayı hedeflemiş ve geleneksel 'özne-yüklem' ikilisinin yerini fonksiyonlar öğretisine bırakmasını sağlamıştır. Günlük konuşma ile bu kavram yazısı arasındaki ilişkiyi mikroskop ile göz arasındaki ilişkiye benzetmiştir.
Frege’nin devrim niteliğindeki ilk kitabı maalesef dönemin matematikçileri ve filozofları tarafından yeterince anlaşlamamış ve görmezden gelinmiştir. Matematikçiler mantık ifadelerini 'metafizik' olarak nitelendirirken, filozoflar formülleri 'matematik' olarak etiketlemiştir. Bu ilgisizlik üzerine Frege, 1884 yılında aritmetiğin doğasını formel olmayan bir dille eleştirel bir şekilde sunduğu 'Die Grundlagen der Arithmetik' (Aritmetiğin Temelleri) adlı kitabını kaleme almıştır.
Çalışmalarına devam eden Frege, 1893 yılında başyapıtı olan 'Die Grundlagen der Arithmetik' (Aritmetiğin Temel Yasaları) eserinin ilk cildini yayımlamıştır. Bu süreçte düşüncelerinde bazı değişiklikler olmuş ve bunları 'Fonksiyon ve Kavram Üzerine', 'Kavram ve Nesne Üzerine' ve 'Anlam ve Gönderim Üzerine' gibi önemli makalelerinde paylaşmıştır. Eserinin ikinci cildini 1903 yılında yayımlamış, ancak kitabın basım aşamasında Bertrand Russell’ın kendi sisteminde bir çelişki (Russell Paradoksu) bulduğunu üzüntüyle kabul etmiştir.
Frege’nin genel tasarımının anlaşılması için dönemin saygın çağdaşları olan J. W. R. Dedekind, Georg Cantor ve G. Peano’nun görüşleriyle karşılaştırılması oldukça faydalıdır. Bu grubun en yaşlısı olan Dedekind 1872'de süreklilik ve irrasyonel sayılar üzerine eser vermiştir. Cantor ise aritmetiğin mantıksal bir kuramını Frege'den önce ileri süren ilk kişi olma özelliğini taşımaktadır.
Georg Cantor (1845-1918), reel sayılar kuramının öne sürülmesiyle birlikte matematik dünyasına yepyeni ve daha üst dereceden bir sonsuzluk kavramı kazandırmıştır. Doğal sayılar sayılabilir sonsuz bir küme oluştururken, 0 ile 1 aralığındaki reel sayıların alt kümesi bile daha üst dereceden bir sonsuzluğu örneklendirir. Bu durum ilk kez Cantor tarafından ünlü 'diyagonal yöntemi' ile kanıtlanmıştır. 0 ile 1 arasındaki reel sayıların sonsuz ondalık tablo şeklinde yazılamayacağını ve bu aralığın sayılamaz olduğunu bu yöntemle göstermiştir.
Cantor’un tanımına göre küme; 'algımızın veya düşüncemizin belirli, farklı nesnelerinin bir bütün içine toplanmasıdır'. Başlangıçta 'çeşitli' terimini kullanan Cantor, sonraları birlik, bütünlük ve sınıf gibi tabirlerin de kullanılmasını tetiklemiştir. Bir küme, elemanlarının açıkça listelenmesiyle veya sadece o elemanlara uyan ortak bir genel tanım verilmesiyle belirtilebilir. Aynı elemanlara sahip her iki küme de özdeş kabul edilir.
İki küme arasında birebir eşleme (tameşleme) kurulabiliyorsa bu kümeler 'eşdeğer' olarak adlandırılır. Bir kümenin kuvveti veya 'sayal sayısı' (kardinal sayısı), o kümenin tüm eşdeğer kümelerle ortak sahip olduğu soyut genel kavramdır ve çift yatay çizgi simgesiyle gösterilir. Cantor’a göre bir küme ancak ve ancak kendi öz alt kümesiyle tameşlemeye sokulabiliyorsa sonsuzdur.
Kümelerden yeni kümeler elde etmek için çeşitli mantıksal ve cebirsel işlemler tanımlanmıştır: (1) Mantıksal toplam veya birleşim (S + T), (2) İç çarpım veya kesişim (ST), (3) Dış, Kartezyen veya çapraz çarpım (S × T) ve (4) Ekleme kümesi (ST). Özellikle S’nin kuvvet kümesi (𝒰S), S’nin tüm alt kümelerinin kümesini ifade eder ve hem boş kümeyi hem de kümenin kendisini kapsar.
Cantor Kuramı'na göre, bir S kümesinin kuvvet kümesi (𝒰S) ne olursa olsun, her zaman S'nin kendisinden daha büyük bir sayal sayıya sahiptir (𝒰S > 𝑆̿). Bu teoremin ispatı, Cantor’un köşegen yöntemi kullanılarak saçmaya indirgeme (reductio ad absurdum) yoluyla yapılmıştır. Bu durum, sonlu ötesi sayal sayıların bitmeyen bir dizi halinde büyümesine yol açar: ℵ₀, 2ℵ₀, 2^(2ℵ₀), vb.
Doğal sayılar kümesinin sayal sayısı ℵ₀ (Alef-sıfır) olarak ifade edilirken, reel sayılar kümesinin sayal sayısının 2ℵ₀ olduğu gösterilmiştir. Cantor, 2ℵ₀'ın ℵ₀'dan hemen sonra gelen sonlu ötesi sayı (ℵ₁) olduğunu tahmin etmiş, ancak bu hipotezin kanıtı ve tartışmaları matematik ile mantık felsefesinde derin izler bırakmıştır.