Ünite 10: Çok Değişkenli Regresyon Modelinde İleri Çıkarsama

Satış Modeli ve Reklam Harcamaları Uygulaması

Ünitede reklam harcamalarının satışlar üzerindeki etkisini test etmek amacıyla reklam hem doğrusal hem de ikinci dereceden karesel terim olarak modele dahil edilmiş, kısıtlı ve kısıtsız modellerin kalıntı kareler toplamları sırasıyla 1896.391 ve 1532.084 olarak hesaplanmıştır.

75 Gözlemli Satış Gelirleri Analizi

n=75 gözlem sayısı ve v=2 kısıt sayısı ile yapılan F-testinde %5 anlamlılık düzeyinde kritik değer 3.126 iken hesaplanan F istatistik değeri 8.44 bulunmuş, bu sayede reklamın satış hasılatı üzerinde anlamlı bir etkiye sahip olduğu kanıtlanmıştır.

Tüketim Modeli Örneklem Uygulaması

n=10 gözlem ve toplam 1211 tüketim, 1700 gelir toplamı verileriyle kurulan tüketim modelinde, regresyon ile açıklanan kareler toplamı (RKT) 12279.3, hata kareler toplamı (HKT) ise 647.6 olarak hesaplanmıştır.

Tüketim Modelinde Belirginlik Katsayısı

Tüketim modeline ait ANOVA tablosu verileri kullanıldığında belirginlik katsayısı (R-kare) 0.95 olarak bulunmuş, bu da gelirdeki değişimin tüketimdeki değişimin %95'ini açıkladığını göstermiştir.

Anahtar Kavramlar

Birleşik HipotezBirden fazla eşitlik işareti ile ifade edilen ve birden fazla parametre üzerine konulan kısıtları aynı anda test etmeye yarayan hipotez türüdür. Örneğin, reklam harcamalarının hem doğrusal hem de karesel terimlerinin katsayılarının aynı anda sıfıra eşit olduğunu test etmek birleşik hipoteze girer.

Kısıtlı ModelTemel hipotezdeki parametre kısıtlarının (örneğin bazı katsayıların sıfır olduğu varsayımının) doğru olduğu kabul edilerek elde edilen ve modelden belirli değişkenlerin çıkarıldığı basitleştirilmiş regresyon modelidir.

Kısıtsız ModelTemel hipotezde öngörülen hiçbir kısıtın modele uygulanmadığı, tüm açıklayıcı değişkenlerin ve parametrelerin tahmin edildiği orijinal regresyon modelidir.

F-TestiBirleşik hipotezleri test etmek ve kısıtlı ile kısıtsız modellerin hata kareleri toplamlarını karşılaştırarak eklenen değişkenlerin anlamlılığını ölçmek için kullanılan istatistiksel testtir.

Kısıtsız Model Kalıntı Kareler Toplamı (KSZ)Kısıtsız regresyon modelinde en küçük kareler kalıntılarının kareleri toplamını ifade eden ve kısıtlı modele kıyasla daha küçük ya da eşit olma eğiliminde olan büyüklüktür.

Kısıtlı Model Kalıntı Kareler Toplamı (KSL)Kısıtlı regresyon modelinde elde edilen kalıntıların kareler toplamıdır. Modelden bazı değişkenler çıkarıldığı için genellikle kısıtsız modelin kalıntı kareler toplamından daha büyük veya eşittir.

Regresyonun Genel AnlamlılığıOtonom parametre hariç modeldeki tüm açıklayıcı değişkenlerin katsayılarının aynı anda sıfıra eşit olup olmadığını, yani modelin bir bütün olarak bağımlı değişkeni açıklamada anlamlı bir güce sahip olup olmadığını test etme işlemidir.

Varyans Analiz Tablosu (ANOVA)Toplam değişimi regresyonla açıklanan ve açıklanamayan olarak ayıran, serbestlik derecelerini ve ortalama kareler toplamlarını göstererek F testinin kolayca yapılmasını sağlayan özet tablodur.

Regresyonla Açıklanan Kareler Toplamı (RKT)Bağımlı değişkendeki değişmenin modelde yer alan bağımsız değişkenler tarafından açıklanan kısmını gösteren kareler toplamı bileşenidir.

Hata Kareler Toplamı (HKT)Modelin açıklayamadığı, yani regresyon doğrusu ile gerçek gözlemler arasındaki farkların karelerinin toplamını ifade eden kalıntılar toplamıdır.

Toplam Kareler Toplamı (BKT)Bağımlı değişkenin kendi örnek ortalamasından sapmalarının kareleri toplamı olup, modeldeki toplam değişimi ifade eder (RKT ile HKT'nin toplamına eşittir).

Ortalama Kareler Toplamı (OKT)Kareler toplamının ilgili serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilen ve varyans hesaplamalarında kullanılan değerdir.

Belirginlik Katsayısı (R-kare)Toplam değişme içinde regresyonla açıklanan değişmenin payını gösteren ve modelin uyum iyiliğini ölçen istatistiktir.

Koşulsuz VaryansBağımlı değişkenin herhangi bir koşula bağlı olmaksızın kendi ortalaması etrafındaki toplam varyansıdır ve ANOVA tablosundan (BKT / n-1) şeklinde hesaplanabilir.

Tahminin Standart HatasıRegresyon modelinin tahmin hatalarının dağılımını gösteren ve ANOVA tablosunda hata ortalama kareler toplamının kareköküyle (veya ilgili terimle) elde edilen ölçüdür.

Kısıt Sayısı (v)Temel hipotezde yer alan eşitlik kısıtlarının sayısını ifade eder. v=1 olduğunda tekli hipotez, v>=2 olduğunda ise birleşik hipotez söz konusudur.

Örnek Dışı BilgiMevcut veri setinden bağımsız olarak teorik beklentiler veya kısıtlar şeklinde modele dayatılan dışsal bilgilerdir.

Tekli Temel HipotezSadece tek bir parametre veya tek bir eşitlik kısıtlaması içeren (v=1) hipotez testidir; bu durumda t-testi ile F-testi aynı sonucu verir.

F-DağılımıPay ve payda serbestlik derecelerine sahip, özellikle varyans oranlarının ve birleşik hipotezlerin test edilmesinde kullanılan sürekli olasılık dağılımıdır.

Red BölgesiTest istatistiğinin hesaplanan değerinin anlamlılık düzeyine (alfa) bağlı olarak belirlenen kritik değeri aştığı ve temel hipotezin reddedildiği olasılık aralığıdır.

Diğer Önemli Bilgiler

İthalat Modeli Örneklemi (Kısıtlı Gözlem)

İthalatın GSMH ve ithal malları fiyat indeksine göre incelendiği 4 gözlemli sınırlı uygulamada, hesaplanan F istatistik değeri tablodaki kritik değerden küçük çıkmış ve kısıtlı/kısıtsız ilişki istatistiksel olarak anlamsız bulunmuştur.

35 Gözlemli Çoklu Değişkenli Model Karşılaştırması

n=35 gözlem sayısına sahip bir başka uygulamada kısıtsız model kalıntı kareler toplamı 105 (serbestlik derecesi kısıtları için v=2) olarak alınmış ve kısıtsız modelin tercih edilmesi gerektiği F-testi ile gösterilmiştir.

14 Gözlemli Örneklem Varyans Analizi

Metnin sonunda yer alan bölüm sorularında n=14 gözlemli verilere ilişkin modelde toplam değişme 5937, kalıntıların kareler toplamı (HKT) ise 680 olarak verilmiş ve model parametreleri test edilmiştir.

Basit Regresyonda t ve F Testi Özdeşliği

Metinde yapılan hesaplamalarda, basit regresyon modelinde tek bir kısıt test edilirken elde edilen 7.30444 t-değerinin karesinin (53.355), doğrudan F-testi istatistik değeriyle birebir aynı sonuç verdiği ampirik olarak gösterilmiştir.

ANOVA Tablosu Varyans Hesaplaması

Tüketim modeli uygulamasında bağımlı değişken Y'nin koşulsuz varyansı Var(Y) = 1436.322 olarak bulunmuş ve modelin genel anlamlılığı F = 151.6 değeriyle test edilmiştir.

İthalat Modelinde Serbestlik Derecesi Sınırı

İthalat modelinde gözlem sayısının sadece n=4 ile sınırlı tutulması, payda serbestlik derecesini (n-k) 1 yapmış ve modelin anlamlılık testinde F istatistiğinin düşük kalmasına yol açmıştır.

11.3 Kritik Değerli Tüketim Analizi

%1 anlamlılık düzeyinde (1, 8) serbestlik derecesiyle tablodan alınan kritik F değeri 11.3 iken, hesaplanan F istatistiği 202.87 çıkarak temel hipotezin güçlü bir şekilde reddedilmesini sağlamıştır.

Tekli Kısıtlamalarda t-Testi Yaygınlığı

Teori ve uygulamada, tek bir eşitlik kısıtlamasını (v=1) test etmek için F-testi matematiksel olarak mümkün olsa da, hesaplama kolaylığı nedeniyle yaygın olarak t-testi tercih edilmektedir.

ANOVA Belirginlik Katsayısı Türetilmesi

Varyans analiz tablosunun birinci sütununun ilk satırının üçüncü satıra oranlanması (RKT / BKT), modelin belirginlik katsayısını (R-kare) doğrudan vermektedir.

Koşulsuz Varyansın ANOVA'dan Elde Edilmesi

ANOVA tablosundaki toplam kareler toplamının (BKT) toplam serbestlik derecesine (n-1) bölünmesi, bağımlı değişkenin koşulsuz varyansını vermektedir.

Sınavda Dikkat Et

Tek bir kısıtlamanın (v=1) test edilmesinde t-testi ile F-testinin aynı sonucu vereceğini ve t-değerinin karesinin F-değerine eşit olduğunu unutmayın; sınavda bu matematiksel dönüşüm sorulabilir.
Temel hipotezlerin kesinlikle 'büyüktür', 'küçüktür', 'büyük eşittir' veya 'küçük eşittir' içeremeyeceğini, yalnızca 'eşittir' (=) kısıtlamalarından oluşması gerektiğini iyi kavrayın.
Kısıtlı model kalıntı kareler toplamının (KSL) her zaman kısıtsız modelinkinden (KSZ) büyük veya eşit olduğunu (KSL >= KSZ) aklınızdan çıkarmayın.
Modelin genel anlamlılığının test edilmesinin esasen belirginlik katsayısının (R-kare) anlamlılığının testi olduğunu ve otonom terim hariç tüm eğim katsayılarının sıfıra eşitlendiğini unutmayın.
ANOVA tablosunda serbestlik derecelerinin nasıl hesaplandığına dikkat edin; RKT için (k-1), HKT için (n-k) ve BKT için (n-1) formülleri sınavda sıklıkla işlem sorularında gereklidir.
Birleşik hipotez testlerinde (v >= 2) t-testinin kullanılamayacağını, mutlaka F-testine başvurulması gerektiğini kesinlikle göz ardı etmeyin.
F-istatistiği hesaplanırken pay serbestlik derecesinin kısıt sayısını (v), payda serbestlik derecesinin ise gözlem sayısı eksi parametre sayısını (n-k) temsil ettiğini karıştırmayın.