Ana Sayfa » İstanbul Üniversitesi AUZEF » İktisat Lisans Programı » Ekonometri

Ekonometri

Ünite 8: Çok Değişkenli Regresyon Modeli -1

Çok Değişkenli Regresyon Modeli -1 - kaynak sayfa görseli

Kaynak: ders kitabı, sayfa 253

İthalat Modelinin Veri Sınırı Örneği

Metinde yer alan ilk ithalat uygulamasında 1986-1989 dönemi için 4 yıllık gözlem kullanılarak 3 parametre (sabit, GSMH, ithal malları fiyat endeksi) tahmin edilmiştir. Ekonometrik uygulamalarda gözlem sayısının parametre sayısından az veya çok yakın olması uygun değildir; ancak bu örnekte sadece EKK hesaplama mantığını göstermek amacıyla veri seti sınırlı tutulmuştur.

Satış Modelinde 75 Şehir Verisi

İkinci açıklayıcı örnekte 75 farklı şehre ait satışlar, fiyatlar ve reklam harcamaları verileri kullanılmıştır. Satış hasılatının ortalaması 77.37 bin dolar, ortalama fiyat 5.69 dolar ve ortalama reklam harcaması 1.84 bin dolar olarak tespit edilmiştir. Bu geniş veri seti sayesinde istatistiksel olarak daha anlamlı EKK tahminleri elde edilmiştir.

Satış Modelinin Otonom Parametre Sonucu

75 şehirli satış modelinde tahmin edilen otonom parametre (sabit terim) 118.914 bin dolar olarak bulunmuştur. Bu rakam, fiyat ve reklam harcamalarının sıfır olması durumunda satış gelirinin 118.914 lira olacağını gösterir. İktisadi olarak sıfır fiyat ve reklamla satış yapılamayacağı bilinse de, sabitin modele eklenmesi öngörü doğruluğunu artırır.

Satış Modelinde Fiyat ve Reklam Katsayıları

75 şehirli satış modelinde fiyatın katsayısı -7.908, reklamın katsayısı ise 1.863 olarak hesaplanmıştır. Fiyattaki 1 liralık artış satışları 7.908 bin dolar azaltırken; reklam harcamalarındaki 1000 dolarlık artış satış gelirlerini 1.863 bin dolar artırmaktadır.

Anahtar Kavramlar

Çok Değişkenli Regresyon ModeliBir bağımlı değişken ile iki veya daha fazla bağımsız değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi inceleyen ekonometrik yöntemdir. Metindeki ithalat modelinde ithalatın GSMH ve ithal malları fiyat endeksine bağlanması buna örnektir.

Otonom Parametre (Kesim Terimi)Regresyon modelinde bağımsız değişkenlerin sıfır değerini alması durumunda bağımlı değişkenin alacağı değeri gösteren beta_0 parametresidir. Satış modelinde fiyat ve reklam sıfır olduğunda satış hasılatının 118.914 lira olacağını gösteren katsayıdır.

Eğim ParametresiDiğer tüm değişkenler sabit tutulduğunda, bağımsız değişkendeki bir birim değişimin bağımlı değişken üzerindeki etkisini gösteren katsayıdır. İthalat modelinde GSMH'nin katsayısı olan 0.58, gelirdeki artışın ithalatı ne kadar artıracağını gösterir.

Kısmi TürevÇok değişkenli fonksiyonlarda birden fazla bağımsız değişken bulunurken, sadece bir bağımsız değişkenin değişmesine izin verip diğerlerini sabit tutarak türev alma işlemidir. Satışların fiyata göre kısmi türevi ∂Y/∂X_1 ile gösterilir.

Rassal Hata TerimiModelde yer alan bağımsız değişkenler dışındaki tüm etkenlerin bağımlı değişken üzerindeki etkisini ve gözlem hatalarını temsil eden u_i değişkenidir. Hava koşulları ve tüketici tercihleri hata teriminin kapsamına girer.

Sistematik BileşenEkonometrik modelin beklenen değer kısmını oluşturan ve rassal olmayan yapıdır. E(Y) = beta_0 + beta_1*X_1 + beta_2*X_2 ifadesi sistematik bileşeni gösterir.

Homoskedastisite (Eşit Varyans)Rassal hata teriminin varyansının her bir gözlem için sabit ve aynı olması durumudur [Var(u_i) = sigma^2]. Modeldeki belirsizliğin her gözlem için değişmediğini ifade eder.

Otokorelasyonİki farklı gözleme ait hata terimleri arasında ilişki olması durumudur [Cov(u_i, u_j) != 0]. Temel varsayımların ihlali anlamına gelir ve model sonuçlarını olumsuz etkiler.

Normal Dağılım VarsayımıHata terimlerinin ortalamasının sıfır, varyansının sigma^2 olduğu normal olasılık dağılımına sahip olduğunu belirten varsayımdır [u_i ~ N(0, sigma^2)].

Bağımsız Değişkenlerin Rassal OlmamasıBağımlı değişkenin değerleri gözlemlenmeden önce bağımsız değişkenlerin değerlerinin önceden bilindiğini ve sabit kabul edildiğini ifade eden varsayımdır.

Tam Doğrusal Bağlantı (Çoklu Doğrusallık)Çok değişkenli regresyon modelinde bağımsız değişkenlerden herhangi birinin diğerinin tam doğrusal bir fonksiyonu olması durumudur. Bu durumda EKK yöntemi hesaplama yapamaz ve başarısız olur.

En Küçük Kareler (EKK) YöntemiGözlemlenen değerler ile modelin öngördüğü değerler arasındaki farkların kareler toplamını minimize ederek bilinmeyen parametreleri tahmin eden yöntemdir.

Normal DenklemlerKalıntı kareler toplamının minimizasyonu için kısmi türevlerin sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen eş anlı denklem sistemidir.

Ortalamadan FarklarEKK hesaplamalarında işlem yükünü azaltmak için değişkenlerin kendi aritmetik ortalamalarından çıkarılmasıyla elde edilen dönüştürülmüş değerlerdir (y, x_1, x_2).

EKK Tahmincisi ve TahminiTahminciler, veriler toplanmadan önce formül olarak tanımlanan rassal değişkenlerdir; tahminler ise bu formüllere gerçek veriler yerleştirilerek elde edilen sayısal değerlerdir.

Talep Fiyat EsnekliğiFiyattaki yüzde değişimin talep edilen miktarda veya satış gelirlerinde yarattığı yüzde değişimi ölçen katsayıdır. İthalat modelinde fiyat esnekliği -0.47 olarak hesaplanmıştır.

Hata Terimi Varyans TahminiAnakütle varyansı bilinmediğinde, EKK kalıntılarının kareleri toplamının serbestlik derecesine (n-k) bölünmesiyle elde edilen tahmin değeridir.

Regresyonun Standart HatasıHata terimi varyans tahmincisinin karekökü olup, modelin tahminlerindeki ortalama sapmayı ve hata büyüklüğünü gösteren s değeridir.

Serbestlik DerecesiModelde parametre tahminleri yapılırken kaybedilen bilgi derecesini gösteren n - k ifadesidir. Örnek olarak 75 gözlem ve 3 parametre için serbestlik derecesi 72'dir.

Doğrusal Üretim FonksiyonuÜretim miktarını emek ve sermayenin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösteren modeldir. Q = beta_0 + beta_1*L + beta_2*K şeklinde ifade edilir.

Log-Log ModelDeğişkenlerin doğal logaritmalarının alındığı ekonometrik modeldir. Bu modelde tahmin edilen eğim katsayıları doğrudan esneklik değerini verir.

Marjinal VerimlilikBir üretim faktörünün bir birim artırılması durumunda çıktı miktarında meydana gelen değişimi ifade eder. Doğrusal üretim modelinde eğim katsayıları marjinal verimliliği temsil eder.

Dışlanmış Değişken HatasıBağımlı değişkeni etkileyen önemli bir bağımsız değişkenin model dışı bırakılması sonucu ortaya çıkan ve model tahminlerini saptıran spesifikasyon hatasıdır.

Diğer Önemli Bilgiler

Satış Modeli Öngörü Uygulaması

Fiyatın 5.50 lira ve reklam harcamasının 1200 lira (1.2 birim) olduğu bir senaryoda satış modeline göre öngörü yapıldığında, beklenen satış geliri 77.656 bin dolar olarak hesaplanmıştır. Bu durum, kurulan ekonometrik denklemlerin geleceğe yönelik planlama ve öngörülerde etkin bir şekilde kullanılabileceğini kanıtlar.

İthalat Modelinde Varyans ve Standart Hata

İthalat modeli için yapılan uygulamada kalıntı kareler toplamı 0.2408 olarak bulunmuş, n=4 ve k=3 iken hata terimi varyansı da 0.2408 hesaplanmıştır. Varyansın karekökü alınarak tahminin standart hatası (regresyon standart hatası) 0.4907 olarak elde edilmiştir.

Satış Modelinde Kalıntı Kareler ve Varyans

75 gözlemli satış modelinde kalıntıların kareleri toplamı 1718.943 olarak hesaplanmıştır. Serbestlik derecesi 75 - 3 = 72 alınarak hata terimi varyansı 23.874, tahminin standart hatası (kök MSE) ise 4.8861 olarak tespit edilmiştir.

Üretim Modeli Uygulaması (10 Gözlem)

Bölüm sonu uygulama sorularında 10 gözleme ait üretim (bin adet), çalışma saati (100 saat) ve sermaye (milyon lira) verileri kullanılmıştır. Bu veri setiyle kurulan doğrusal üretim modelinde çalışma saatinin katsayısı 0.688, sermayenin katsayısı ise -0.034 olarak bulunmuştur.

Üretim Modelinde Kalıntı Kareler ve Varyans

10 gözlemli üretim modelinde kalıntı kareler toplamı 14.41898 olarak hesaplanmıştır. n=10 ve k=3 olduğunda n-k = 7 serbestlik derecesiyle hata terimi varyansı 2.05985 olarak elde edilmiştir.

Üretim Modelinde Esneklik Hesaplamaları

Doğrusal üretim modelinde emeğin ortalamaya göre esnekliği 0.573 (emek %1 artarsa üretim %0.57 artar), sermayenin esnekliği ise -0.071 olarak hesaplanmıştır. Emeğin 8 ve sermayenin 15 birim olduğu özel noktada ise esneklikler sırasıyla 0.564 ve -0.053 olarak bulunmuştur.

Log-Log Üretim Modeli Dönüşümü

Doğrusal üretim modelinin faktörlerin toplanması ve sabit marjinal verimlilik varsayımı eleştirildiği için aynı veri seti doğal logaritmaları alınarak log-log modele dönüştürülmüştür. Yeni modelde kalıntı kareler toplamı 0.195651, hata terimi varyansı ise 0.02795 olarak hesaplanmıştır.

Log-Log Modelde Esneklik Katsayıları

Log-log üretim modelinde tahmin edilen katsayılar doğrudan esneklik vermektedir. Emek katsayısı 0.642 (emekteki %1 artış üretimi %0.64 artırır) ve sermaye katsayısı 0.036 olarak bulunmuş, iktisadi açıdan log-log modelin doğrusal modele göre daha tutarlı olduğu vurgulanmıştır.

İthalat Modelinde Gelir ve Fiyat Esneklikleri

İthalat uygulamasında ortalama değerler üzerinden yapılan hesaplamada, GSMH'deki %1'lik artışın ithalatı %2.2 artırdığı, ithal malları fiyat indeksindeki %1'lik artışın ise ithalatı %0.47 azalttığı gösterilmiştir.

AOF Bölüm Soruları Veri Seti (9 Gözlem)

Bölüm sonu test sorularının bir kısmında 9 gözlemden oluşan Y, X_1 ve X_2 veri seti kullanılmıştır. Bu verilerle yapılan EKK tahminlerinde model parametreleri, kalıntı kareler toplamı (3.8375) ve hata varyansı test sorularının çözüm temelini oluşturmuştur.

AOF Bölüm Soruları Talep Veri Seti (10 Gözlem)

Bölüm sonu testlerinin diğer kısmında talep, fiyat ve gelir değişkenlerini içeren 10 gözlemli tüketici veri seti verilmiştir. Bu veri seti üzerinden öğrencilerin regresyon denklemini tahmin etmesi, kalıntı kareler toplamı (25.293) ve hata varyansını hesaplaması istenmiştir.

Sınavda Dikkat Et

Çok değişkenli regresyon modellerinde eğim parametrelerinin yorumlanırken mutlaka 'diğer tüm değişkenler sabit tutulduğunda' ifadesinin dikkate alınması gerektiği unutulmamalıdır.
EKK normal denklemlerinin çözümünde işlem kolaylığı sağlamak için ham veriler yerine değişkenlerin ortalamalarından farklarının kullanıldığı (küçük harflerle ifade edilen) sınavda sıkça sorulmaktadır.
Hata terimi varyans tahmininde paydadaki (n - k) ifadesinin serbestlik derecesini gösterdiği ve k'nın modeldeki toplam parametre sayısı (sabit dahil) olduğu gözden kaçırılmamalıdır.
Log-log modellerde tahmin edilen katsayıların doğrudan esnekliği (elastikiyeti) verdiği, doğrusal modellerde ise esneklik için türev ve veri değerlerinin ayrıca çarpılması gerektiği unutulmamalıdır.
Bağımsız değişkenlerden birinin diğerinin tam doğrusal fonksiyonu olması durumunda (tam doğrusal bağlantı) EKK yönteminin başarısız olacağı bilgisi sınav sorularında kritik bir detaydır.
Otonom parametrenin (sabit terimin) iktisadi olarak anlamlı veya gerçekçi olmasa bile (örneğin fiyat sıfırken satış) modele dahil edilmesinin öngörü kalitesini artırmak için tercih edildiği bilinmelidir.