Çekmece ya da Güvercin Yuvası İlkesi
Bir sihirbaz sahnede yaptığı numarayla küçük dilinizi yutturabilir ama nasıl yaptığını öğrendiğinizde numaranın bütün havası kaybolur. Numaranın gerçekten sihirbazlık olmadığını anlarsınız! Bu bir düş kırıklığı yaratır. Onun için sihirbazlar, numaralarını nasıl yaptıklarını açıklamazlar. Nedendir bilinmez insanoğlu sihirbazlığı bilime yeğler, sihirbazlığı daha eğlenceli bulur.
Matematikte de ilk bakışta zor görünen bazı problemlerin çözümü çok basit olabilir, şaşırtıcı derecede basit bir matematiksel ilkeye dayanabilir. Matematikçilerin sırlarını paylaşmaması (en azından günümüzde) söz konusu olmadığından, bu ilkelerden birini açıklayacağız: Çekmece İlkesi, namı diğer Güvercin Yuvası İlkesi. İlke gerçekten çok basit. Ama önce numaramızı yapalım:
Küçük Gauss babasıyla ormanda gezerken sormuş:
-Bu ormanda yaprak sayısı aynı olan iki ağacın olması için herhangi bir koşul söyleyebilir misin?
Baba Gauss böyle bir koşul düşünemeyince yanıtı küçük Karl vermiş:
-Eğer ormandaki yapraklı ağaç sayısı, bu ormanın en çok yaprağı olan ağacın yaprak sayısından daha fazlaysa, en az iki ağacın yaprak sayısı aynıdır…
Bu öykü büyük olasılıkla uydurmadır. Ama küçük Gauss’un büyüdüğünde dünyanın gelmiş geçmiş en büyük matematikçisi olacağı gerçektir.
Gauss’un yanıtı karışık gibi görünebilir ilk bakışta. Ama çok kolay olduğunu şu açıklamayı okuyunca fark edeceksiniz: Güvercin beslediğinizi düşünelim, her akşam da güvercinler yuvalarına girsinler. Eğer güvercin sayısı güvercin yuvası sayısından fazlaysa, örneğin 4 yuva ve 5 güvercin varsa, en az bir yuvada birden fazla güvercin vardır. İlkeye Güvercin Yuvası adı verilmesinin nedeni bu açıklamadır.
Bu ilke değişik ama denk ifadelerle de verilebilir. Örneğin,
1. Belli sayıda güvercin aynı sayıda yuvaya yerleştirildiğinde yuvalardan birinin boş kalması için gerek ve yeter koşul, en az bir yuvada birden fazla güvercin olmasıdır.
2. İki sonlu küme arasında birebir eşleme olması için gerek ve yeter koşul, bu iki kümenin eleman sayısının eşit olmasıdır.
Ormana ve ağaçlara dönelim. Ne demişti Gauss? Ormandaki yapraklı ağaç sayısı en fazla yaprağı olan ağacın yaprak sayısından fazlaysa… Ormanda 5 ağaç olsun ve her ağaç en fazla 4 yapraklı olsun. İlk dört ağacın yaprak sayıları 1, 2, 3, 4 olarak farklı olabilir. Ama sona kalan ağacın yaprak sayısı bu sayılardan birine eşit olmak zorunda kalacaktır.
Kaynak: Matematik Dünyası 2003 Kış Sayısı. Yazar: Haluk Oral