Ünite 10: Ki-Kare Testleri

Karl Pearson (1900)

Ki-kare testlerinin temeli, 1900 yılında ünlü istatistikçi Karl Pearson tarafından geliştirilen tekniğe dayanmaktadır. Bu teknik, gözlenen değerlerin teorik değerlere uygunluğunu matematiksel olarak kanıtlamıştır.

Ki-Kare Dağılımının Ortalaması ve Varyansı

Bir ki-kare dağılımının ortalaması serbestlik derecesine (v), varyansı ise serbestlik derecesinin iki katına (2v) eşittir. Örneğin, serbestlik derecesi 10 olan bir dağılımın ortalaması 10, varyansı ise 20'dir.

Serbestlik Derecesi 1 Olan Tablolar

Dört gözlü olarak da bilinen 2 x 2 boyutlu kontenjans tablolarında serbestlik derecesi v = (2-1)*(2-1) formülü gereği her zaman 1'e eşittir ve bu tablolarda Yates düzeltmesi yapılması önerilir.

Yates Düzeltmesi Sınırı

Yates süreklilik düzeltmesi, gözlenen ve beklenen frekanslar arasındaki mutlak farktan sabit olarak 0.5 çıkarılmasını öngören ve sadece v = 1 durumunda uygulanan bir prosedürdür.

Anahtar Kavramlar

Nitel DeğişkenSayısal olmayan, isim veya kategorilerle ifade edilen ve verileri sayılarak elde edilen değişkenlerdir. Örneğin, cinsiyet (erkek/kadın) veya sigara içme durumu (içen/içmeyen) nitel değişkenlere örnek gösterilebilir.

Ki-Kare DağılımıStandart normal dağılım gösteren bağımsız tesadüf değişkenlerinin karelerinin toplamıyla elde edilen, sağa çarpık ve sadece pozitif değerler alan sürekli bir olasılık dağılımıdır.

Serbestlik DerecesiBir istatistiksel hesaplamada serbestçe değer alabilen bağımsız gözlem sayısıdır. Ki-kare testlerinde genellikle satır ve sütun sayılarından hareketle v = (r - 1)(c - 1) formülüyle hesaplanır.

Kontenjans Tablosuİki veya daha fazla kategorik değişkenin kategorilerini satır ve sütunlarda çaprazlayarak gözlenen frekansları özetleyen iki boyutlu tablolardır.

Gözlenen Frekans (Oij)Kontenjans tablosunun belirli bir hücresinde yer alan, örneklemden doğrudan sayılarak elde edilmiş gerçek gözlem veya müşahede sayısıdır.

Beklenen Frekans (Eij)Sıfır hipotezinin (bağımsızlık durumunun) doğru olduğu varsayımı altında, satır ve sütun toplamlarından hareketle hücrelerde bulunması tahmin edilen teorik frekans değeridir.

Yates Süreklilik DüzeltmesiSerbestlik derecesi 1 olan 2 x 2'lik kontenjans tablolarında, kesikli verileri sürekli ki-kare dağılımına yaklaştırmak için gözlenen ve beklenen farklarından 0.5 çıkarılarak yapılan düzeltmedir.

Kontenjans Katsayısı (C)Ki-kare bağımsızlık testi sonucunda iki değişken arasında tespit edilen ilişkinin gücünü ve derecesini 0 ile 1 arasında bir değerle ölçen katsayıdır.

Homojenlik TestiFarklı populasyonlardan çekilen bağımsız örneklerin, ilgilenilen bir özellik veya karakteristiğe göre benzer dağılım gösterip göstermediğini test eden ki-kare yöntemidir.

Uyum TestiElde edilen örneklem verilerinin, önceden bilinen teorik bir dağılıma (örneğin genetik açılım oranlarına veya Poisson dağılımına) uygun olup olmadığını denetleyen testtir.

Fisher'in Kesin Ki-Kare Testi2 x 2'lik tablolarda beklenen hücre frekanslarından herhangi biri 5 veya daha küçük olduğunda, standart ki-kare testi yerine doğrudan kesin olasılık hesabı yapan parametrik olmayan testtir.

Mc Nemar TestiAynı denekler üzerinde yapılan ilk ölçüm ve ikinci ölçüm (önce-sonra) gibi bağımlı iki kategorik verinin karşılaştırılmasında kullanılan özel bir ki-kare testidir.

Birinci Tip Hata (Alpha)Gerçekte doğru olan bir sıfır hipotezinin (H0) test sonucunda yanlışlıkla reddedilmesi olasılığıdır; araştırmalarda genellikle %1 veya %5 olarak belirlenir.

Test İstatistiğiÖrneklem verilerinden hesaplanan ve sıfır hipotezinin kabul veya reddedilmesine karar vermek için kritik tablo değeriyle karşılaştırılan değerdir.

Kritik DeğerBelirli bir serbestlik derecesi ve önem düzeyine göre ki-kare tablosundan okunan, H0 hipotezinin reddedileceği bölgenin sınırını belirleyen eşik değerdir.

Diğer Önemli Bilgiler

Kontenjans Katsayısının Sınırları

Kontenjans katsayısı (C) her zaman 0 ile 1 arasında değer alır. Katsayı 1'e yaklaştıkça iki değişken arasındaki ilişki kuvvetlenir, 0'a yaklaştıkça ilişki zayıflar.

Fisher'in Kesin Testi Eşiği

2 x 2 boyutlu kontenjans tablolarında beklenen hücre frekanslarından en az bir tanesi bile 5 veya daha küçük bir değer aldığında Fisher'in kesin testi uygulanmalıdır.

Ki-Kare Tablo Değeri Örneği (v=2, α=0.05)

Ki-kare tablosunda 0.05 önem düzeyinde ve 2 serbestlik derecesinde kritik tablo değeri 5.991 olarak okunur. Hesaplanan değer bu değerden büyükse H0 reddedilir.

Ki-Kare Tablo Değeri Örneği (v=3, α=0.01)

Ki-kare tablosunda 0.01 önem düzeyinde ve 3 serbestlik derecesinde kritik tablo değeri 11.345 olarak okunur. Bu değer yüksek güvenlikli testlerde eşik olarak kullanılır.

Kan Grubu Dağılımı Örneği

Türkiye'deki A, B, AB ve O kan grubu oranları sırasıyla %40, %20, %10 ve %30 olarak bilinmektedir ve homojenlik testinin II. durumunda bu oranlar beklenen değerlerin hesabında kullanılır.

Ki-Kare Değer Aralığı

Ki-kare test istatistiği kareler toplamına dayandığı için negatif değer alamaz. Bu nedenle ki-kare değerleri her zaman 0 ile artı sonsuz (+∞) arasında değişir.

Merkezi Limit Teoremi Etkisi

Örneklem büyüklüğü (n) arttıkça, ki-kare dağılımının asimetrisi ve dikliği azalır; dağılım giderek simetrikleşerek normal dağılım eğrisine yaklaşır.

Sınavda Dikkat Et

Sınavda 2 x 2'lik bir tablo sorulduğunda serbestlik derecesinin (v) her zaman 1 olduğunu unutmayın; çünkü v = (2-1)*(2-1) = 1'dir.
Eğer serbestlik derecesi 1 ise ve süreklilik düzeltmesi isteniyorsa mutlaka Yates düzeltmeli formülü kullanın, aksi takdirde test istatistiğini hatalı yüksek bulursunuz.
Kontenjans katsayısı (C) hesaplanırken karekök içindeki ifadenin paydasında 'pay + n' olduğuna dikkat edin; n toplam örneklem büyüklüğüdür.
Hücre beklenen frekansını (Eij) hesaplarken hata yapmamak için ilgili hücrenin satır toplamı ile sütun toplamını çarpıp genel toplam olan n'e bölün.
Hesaplanan ki-kare değeri kritik tablo değerinden büyük çıktığında H0 hipotezinin reddedildiğini ve değişkenler arasında 'anlamlı bir ilişki' olduğunu işaretleyin.
Mc Nemar testinin sadece 'önce-sonra' gibi bağımlı ölçümlerde, Fisher testinin ise beklenen değeri 5'ten küçük hücreler olduğunda kullanıldığını ayırt edin.