Ünite 4: Bağıntı ve Fonksiyonlar

Kalem Fiyatı ve Ödenecek Para İlişkisi

Fiyatı 5 TL olan bir kalemden x tane alındığında ödenecek para y = 5x fonksiyonu ile modellenir. Burada kalem sayısı x bağımsız değişken, ödenecek tutar y ise bağımlı değişkendir.

Üç Değişkenli Faiz Fonksiyonu

Bankadaki vadeli mevduatın gelecekteki değeri S = f(P, i, t) fonksiyonu ile hesaplanır. Burada yatırım miktarı P, faiz oranı i ve geçen süre t bağımsız değişkenler olup çok değişkenli fonksiyon örneğidir.

Kartezyen Çarpım ve Bağıntı Sayısı

Eleman sayıları s(A) = m ve s(B) = n olan iki küme için A'dan B'ye tanımlanabilecek toplam bağıntı sayısı 2^(m * n) formülüyle bulunur. Bu formül tüm alt kümelerin sayısını verir.

Doğrusal Fonksiyonların Bire-Birligi

Metinde verilen f(x) = 3x - 1 gibi doğrusal fonksiyonlar, her x değeri için benzersiz bir y değeri ürettiğinden her zaman bire-bir ve örten fonksiyon sınıfına girerler.

Anahtar Kavramlar

Tanım KümesiBir f fonksiyonunun başlangıç noktası olan ve bağımsız değişkenlerin alabileceği tüm değerleri içeren kümedir. Örneğin f(x) = 2x + 1 fonksiyonunda x'lerin seçildiği kümedir.

Değer KümesiFonksiyonun hedef kümesi olup, tanım kümesindeki elemanların eşlenebileceği tüm olası elemanları barındıran kümedir. Fonksiyon tanımında f: A -> B ifadesindeki B kümesidir.

Görüntü KümesiTanım kümesindeki elemanların fonksiyon kuralı altındaki gerçek çıktılarının oluşturduğu kümedir. f(A) ile gösterilir ve her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir.

BağıntıBoş olmayan iki kümenin kartezyen çarpım kümesinin her bir alt kümesine verilen isimdir. A'dan B'ye tanımlanan her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır.

Bire-Bir FonksiyonTanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir elemanla eşleştiği fonksiyon türüdür. f(x1) = f(x2) ise x1 = x2 olmak zorundadır.

Örten FonksiyonDeğer kümesinde açıkta hiçbir eleman kalmayan, yani görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyon türüdür. f(A) = B şartı sağlanır.

İçine FonksiyonDeğer kümesinde eşlenmemiş en az bir eleman kalan fonksiyon türüdür. Görüntü kümesi değer kümesinin öz alt kümesidir.

Birim FonksiyonTanım kümesindeki her elemanı yine kendisine eşleyen fonksiyondur. f(x) = x şeklinde gösterilir ve 'I' harfi ile sembolize edilir.

Sabit FonksiyonTanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki yalnızca tek bir elemana götüren fonksiyondur. f(x) = c biçimindedir.

Bileşke FonksiyonEn az iki fonksiyonun ardışık uygulanmasıyla oluşan, (fog)(x) = f(g(x)) şeklinde gösterilen yeni fonksiyondur.

Ters FonksiyonBire-bir ve örten bir f fonksiyonunun eşlemelerini tersine çeviren f^-1 fonksiyonudur. f(x) = y ise f^-1(y) = x olur.

Parçalı FonksiyonTanım kümesinin farklı alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyon türüdür. Kuralların değiştiği sınırlara kırılma noktası denir.

Kartezyen ÇarpımA ve B kümelerinin elemanlarıyla oluşturulabilecek tüm (x, y) sıralı ikililerinin kümesidir. s(A x B) = s(A) * s(B) ile hesaplanır.

Bağımsız DeğişkenBir fonksiyonda değeri dışarıdan serbestçe belirlenebilen ve tanım kümesini oluşturan x değişkenidir.

Bağımlı DeğişkenDeğeri bağımsız değişkene yapılan işlemlere göre belirlenen ve değer kümesinde yer alan y değişkenidir.

Kırılma NoktasıParçalı fonksiyonlarda fonksiyon kuralının değiştiği sınır değeridir. Örneğin x < 0 ve x >= 0 durumlarında 0 noktası kırılma noktasıdır.

Yatay Doğru TestiBir fonksiyon grafiğinin bire-bir olup olmadığını anlamak için x eksenine paralel doğrular çizilerek yapılan görsel testtir.

Diğer Önemli Bilgiler

Kareköklü Fonksiyonların Tanım Kümesi Sınırı

y = 2 - sqrt(3 - 2x) fonksiyonunun reel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içindeki 3 - 2x ifadesinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir, bu da x <= 3/2 sınırını getirir.

Birim Fonksiyonun Grafiksel Özelliği

Birim fonksiyon y = f(x) = x doğrusu olup, koordinat sisteminde orijinden geçen ve eksenleri tam ortadan bölen 45 derecelik birinci açıortay doğrusudur.

Ters Fonksiyonların Simetri Eksenleri

Birbirinin tersi olan f(x) ve f^-1(x) fonksiyonlarının grafikleri, koordinat sisteminde her zaman y = x birim fonksiyon doğrusuna göre simetrik bir yapı sergiler.

Bileşke İşleminde Değişme Özelliğinin Yokluğu

f(x) = 2x + 1 ve g(x) = 3x - 2 fonksiyonları için (fog)(x) = 6x - 3 iken (gof)(x) = 6x + 1 olarak bulunur. Bu durum bileşke işleminde değişme özelliğinin olmadığını kanıtlar.

Parçalı Fonksiyon Grafiğinde Kırılma

f(x) parçalı fonksiyonunda x < 0 için y = 5 sabit doğrusu, x >= 0 için y = -x + 5 doğrusu tanımlanmıştır. Burada y ekseni (x = 0) fonksiyonun kırılma noktasıdır.

Sabit Fonksiyonun Değişmezliği

f(x) = ln 5 fonksiyonu sabit bir fonksiyondur. Tanım kümesindeki x değişkeni ne olursa olsun, örneğin f(2) değeri yine değişmeyerek ln 5 değerine eşit kalır.

Bire-Bir Olmayan Kuadratik Fonksiyonlar

f(x) = x^2 + 1 gibi ikinci dereceden kuadratik fonksiyonlar bire-bir değildir. Çünkü x = -1 ve x = 1 için fonksiyon aynı f(x) = 2 değerini üretir.

Bölüm Tanımsızlığı ve Apsis Değeri

y = (5x + 2) / (x - 3) rasyonel fonksiyonunda paydayı sıfır yapan x = 3 değeri için fonksiyon tanımsızdır. Bu değer tanım kümesinden çıkarılmalıdır.

Sınavda Dikkat Et

Kareköklü fonksiyonların tanım kümesi sorularında kök derecesine dikkat edin; çift dereceli köklerin içi asla negatif olamaz (>= 0 yapılmalıdır).
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan x değerlerini tanım kümesinden çıkarmayı unutmayın, çünkü bu noktalar fonksiyonu tanımsız yapar.
Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için 'bire-bir ve örten' olması şartını her zaman kontrol edin, aksi takdirde tersi fonksiyon belirtmez.
Bileşke fonksiyonlarda işlem sırasına çok dikkat edin; (fog)(x) işleminde önce g(x) hesaplanır, çıkan sonuç f fonksiyonunda yerine yazılır.
Sabit fonksiyon sorularında f(x) = c olduğundan, parantez içindeki değer ne kadar karmaşık görünürse görünsün sonucun her zaman aynı sabit sayı olacağını unutmayın.