Ünite 12: Sonlu De˘gi¸smeli Grupların Yapısı

Z15 Grubunun Sylow Altgrupları

Mertebesi 15 olan Z15 grubunun asal bölenleri 3 ve 5'tir. Bu grubun Sylow 3-altgrubu G3 = {0, 5, 10} = <5> ve Sylow 5-altgrubu G5 = {0, 3, 6, 9, 12} = <3> olarak bulunur.

Z30 Grubunun Direkt Toplamı

Z30 grubunun mertebesi 30 = 2 * 3 * 5'tir. Bu grup, Sylow altgrupları olan G2 = <15>, G3 = <10> ve G5 = <6> altgruplarının iç direkt toplamı olarak Z30 = <15> ⊕ <10> ⊕ <6> şeklinde yazılır.

Mertebesi 72 Olan Grupların Sayısı

72 sayısı 2^3 * 3^2 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. 3'ün parçalanış sayısı p(3)=3 ve 2'nin parçalanış sayısı p(2)=2 olduğundan, mertebesi 72 olan ve birbirine izomorf olmayan tam 6 farklı değişmeli grup vardır.

Mertebesi 144 Olan Grupların Sayısı

144 sayısı 2^4 * 3^2 şeklinde yazılır. 4'ün parçalanış sayısı p(4)=5 ve 2'nin parçalanış sayısı p(2)=2 olduğu için, mertebesi 144 olan ve birbirine izomorf olmayan toplam 10 farklı değişmeli grup listelenebilir.

Anahtar Kavramlar

Cauchy TeoremiMertebesi n olan değişmeli bir grubu bölen her p asal sayısı için, grupta mertebesi p olan en az bir elemanın var olduğunu garanti eden teoremdir.

p-grupAşikar olmayan sonlu bir grubun eleman sayısının (mertebesinin), p bir asal sayı olmak üzere p'nin pozitif bir tamsayı kuvveti (p^k) biçiminde olması durumudur.

Sylow p-altgrubuG sonlu değişmeli grubunda, mertebesi p asalının bir kuvveti olan elemanların oluşturduğu ve Gp ile gösterilen özel altgruptur.

Direkt ToplamGrupların kartezyen çarpımı üzerinde tanımlanan ve grupları birleştirerek daha büyük bir grup yapısı elde etmeyi sağlayan cebirsel işlemdir.

Sonlu Değişmeli Grupların Temel TeoremiHer sonlu değişmeli grubun, asal kuvvet mertebeli devirli grupların direkt toplamına izomorf olduğunu ve izomorf olmayan grup sayısının parçalanış fonksiyonuyla bulunacağını belirten teoremdir.

Parçalanış Sayısı (p(n))Bir n pozitif tamsayısının, sırasına bakılmaksızın pozitif tamsayıların toplamı şeklinde kaç farklı yolla yazılabileceğini gösteren fonksiyondur; örneğin p(3)=3'tür.

İzomorf GruplarAralarında birebir, örten ve grup işlemini koruyan bir eşleme (homomorfizma) bulunan, yapısal olarak tamamen aynı özelliklere sahip gruplardır.

Eleman Mertebesi (o(x))Bir grubun x elemanı için, x^k = e (birim eleman) eşitliğini sağlayan en küçük k pozitif tamsayısıdır.

Aralarında Asallık Şartıİki veya daha fazla sayının en büyük ortak böleninin 1 olması durumudur; Zm ⊕ Zn'nin Zmn'ye izomorf olması için bu şart gereklidir.

İç Direkt ToplamBir grubun, kesişimleri sadece birim elemandan oluşan ve çarpımları tüm grubu veren altgruplarının direkt toplamı şeklinde yazılması durumudur.

Diğer Önemli Bilgiler

Mertebesi 30 Olan Tek Yapı

30 = 2 * 3 * 5 olup tüm üsler 1'dir. p(1)*p(1)*p(1) = 1 olduğundan mertebesi 30 olan ve birbirine izomorf olmayan sadece 1 tane değişmeli grup vardır, o da Z30 devirli grubudur.

Zm ⊕ Zn ≅ Zmn İzomorfizm Koşulu

m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere, Zm ⊕ Zn grubunun Zmn grubuna izomorf olması için yegane gerek ve yeter şart m ve n sayılarının en büyük ortak böleninin 1 olmasıdır.

Sınavda Dikkat Et

Sınavda grup mertebesi verildiğinde ilk iş olarak sayıyı asal çarpanlarına ayırın; çünkü tüm hesaplamalar asal çarpanların üsleri üzerinden yapılır.
İzomorf olmayan grup sayısını bulurken tabandaki asal sayıları tamamen görmezden gelin, sadece üslerin parçalanış sayılarını (p(m)) çarpın.
Parçalanış sayılarını ezbere bilin: p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3, p(4)=5 sınavda en çok çıkan değerlerdir.
Sylow p-altgrubunu bulurken, altgrubun elemanlarının mertebelerinin p'nin kuvveti olması gerektiğini ve altgrubun mertebesinin p^k olacağını unutmayın.
Zm ⊕ Zn ≅ Zmn izomorfizmini kontrol ederken m ve n'nin aralarında asal olup olmadığını mutlaka kontrol edin, aralarında asal değillerse izomorf değildirler.