Ünite 5: Kesikli Populasyon Dağılımları

Köydeki Ailelerin Çocuk Sayısı Dağılımı

1000 aile üzerinde yapılan bir araştırmada, ailelerin çocuk sayılarına göre nispi frekansları hesaplanmıştır. Bu köyde 3 çocuklu ailelerin oranı %41 ile en yüksek paya sahipken, ortalama çocuk sayısı 2.60 ve standart sapma 1.16 olarak bulunmuştur.

Para Atışında Mümkün Sonuç Sayısı

Aynı anda vuku bulması imkansız olan olayların n defa tekrarlanması kuralına göre, 2 yüzü olan bir madeni para 10 kez atıldığında toplam mümkün sonuç sayısı 2^10 = 1024 farklı kombinasyon olarak gerçekleşir.

Lokantadaki Menü Kombinasyonu

Çok aşamalı seçim kuralına göre; 4 çeşit salata, 10 çeşit çorba, 3 çeşit meşrubat ve 6 çeşit tatlı sunan bir lokantada akşam yemeği için oluşturulabilecek benzersiz menü sayısı (4)*(10)*(3)*(6) = 720 adettir.

Kitap Diziliminde Permütasyon

Elimizdeki 6 farklı ders kitabından sadece 4 tanesini koyabileceğimiz bir kitaplık rafı varsa, kitapların diziliş sırası önemli olduğunda permütasyon kuralı gereği 360 farklı diziliş elde edilir.

Anahtar Kavramlar

Kesikli DeğişkenBelirli değerler arasında sadece tam sayı değerleri alabilen ve genellikle sayım yoluyla elde edilen değişken türüdür. Örneğin, bir ailedeki çocuk sayısı sadece 0, 1, 2 gibi tam sayılar olabilir, ondalıklı değer alamaz.

Kesikli İhtimal DağılımıTesadüfi bir değişkenin alabileceği tüm mümkün kesikli sonuçları ve bu sonuçların her birinin gerçekleşme ihtimallerini bir arada gösteren tablosal veya matematiksel gösterimdir.

Beklenen Değer (Ortalama)Kesikli bir tesadüfi değişkenin alabileceği değerlerin, kendi gerçekleşme ihtimalleriyle ağırlıklandırılması sonucu hesaplanan uzun dönemli ortalamadır ve E(X) veya μ ile gösterilir.

Standart Sapma (σ)Kesikli ihtimal dağılımındaki değişken değerlerinin beklenen değerden (ortalamadan) olan uzaklıklarının ve yayılımının bir ölçüsüdür; varyansın karekökü alınarak hesaplanır.

Faktöriyel (!)1'den başlayarak belirli bir n pozitif tam sayısına kadar olan tüm sayıların çarpımıdır; sıralama ve diziliş problemlerinin hesaplanmasında temel araçtır.

Permütasyonn elemanlı bir kümeden seçilen X adet elemanın, diziliş sırasının önemli olduğu durumlarda kaç farklı şekilde sıralanabileceğini gösteren sayma kuralıdır.

Kombinasyonn elemanlı bir kümeden seçilen X adet elemanın, diziliş sırasının önemsiz olduğu durumlarda kaç farklı grup oluşturabileceğini hesaplayan kuraldır.

Binom DağılımıHer denemenin sadece iki mümkün sonucunun (başarı/başarısızlık) olduğu ve denemelerin birbirinden bağımsız gerçekleştiği durumlar için kullanılan kesikli ihtimal dağılımıdır.

Bernoulli DenemesiSadece iki sonucu olan (evet/hayır, yazı/tura, kusurlu/kusursuz gibi) ve tek bir kez gerçekleştirilen tesadüfi deney veya denemedir.

Poisson DağılımıBelirli bir zaman, alan veya hacim diliminde, gerçekleşme ihtimali çok düşük olan nadir olayların sayısını modellemek için kullanılan kesikli dağılımdır.

Küçük İhtimaller DağılımıPoisson dağılımının literatürdeki diğer adıdır; olayların gerçekleşme olasılığının (p) sıfıra çok yakın, deneme sayısının (n) ise çok büyük olduğu durumları ifade eder.

Nispi FrekansBir sınıfa ait frekans değerinin toplam gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilen orandır; geçmiş verilerde ihtimal değerlerini tahmin etmek için kullanılır.

e SabitiPoisson dağılımı formülünde kullanılan ve yaklaşık değeri 2.71828 olan, matematikteki doğal logaritma tabanını temsil eden irrasyonel sayıdır.

Diğer Önemli Bilgiler

Kitap Diziliminde Kombinasyon

Elimizdeki 6 farklı ders kitabından 4 tanesini seçeceğimiz ve kitapların diziliş sırasının önemsiz olduğu bir durumda, kombinasyon kuralı gereği sadece 15 farklı kitap grubu oluşturulabilir.

Kusurlu Ürün Örneği

%15 kusurlu üretim yapan bir üretim bandından tesadüfi olarak alınan 3 birimlik bir örnekte, en az iki ürünün kusurlu çıkma ihtimali binom formülüyle %6.08 olarak hesaplanmıştır.

Hekimlerin Sigara İçme Oranı

Sigara içme oranının %10 olduğu bilinen bir hekim grubundan seçilen 4 kişilik bir alt grupta, en çok iki kişinin sigara içiyor olması ihtimali binom dağılımı ile %99.63 gibi çok yüksek bir oranda bulunmuştur.

Galericinin Müşteri Kaçırma İhtimali

Ayda ortalama 150 müşterinin geldiği (günde ortalama 5 müşteri) bir otomobil galerisinde, dükkanın kapalı olduğu bir günde en az 3 müşterinin kaçırılma ihtimali Poisson dağılımı ile %87.54 olarak hesaplanmıştır.

Ameliyathanede Narkoz Ölüm Riski

Her 1000 ameliyattan birinde narkoz ölümünün gerçekleştiği bir hastanede, yapılan 4000 ameliyatta en fazla iki ölüm vakasının yaşanma ihtimali Poisson formülüyle %23.81 (yaklaşık %24) olarak bulunmuştur.

Kaza Sonucu Boğulma İstatistiği

100.000 kişide 2 kişinin kaza sonucu boğulduğu bir ülkede, 200.000 nüfuslu bir şehirde yılda tam olarak 2 kişinin kaza sonucu boğulma ihtimali Poisson dağılımı (lambda = 4) kullanılarak %14.65 olarak hesaplanmıştır.

Sınavda Dikkat Et

Sınavda sorulan değişkenin kesikli mi sürekli mi olduğuna dikkat et; sayımla elde edilen ve tam sayı alan çocuk sayısı, araba sayısı gibi değişkenler kesiklidir.
Beklenen değer (ortalama) hesaplarken her bir X değerini kendi ihtimaliyle çarpıp toplamayı unutma; toplam ihtimalin her zaman 1 olması gerektiğini kontrol et.
Permütasyon ve Kombinasyon sorularını ayırt etmek için soruda 'sıra/diziliş' kelimesinin geçip geçmediğine bak; sıra önemliyse permütasyon, sadece seçim yapılıyorsa kombinasyon kullan.
Ortalaması varyansına eşit olan tek dağılımın Poisson dağılımı olduğunu sınavda doğrudan bilgi sorusu olarak karşına çıkabileceği için aklında tut.
Binom sorularında başarı olasılığı p = 0.5 ise dağılımın mükemmel simetrik, p > 0.5 ise sola çarpık, p < 0.5 ise sağa çarpık olduğunu unutma.
Poisson dağılımında lambda (λ) parametresinin hem ortalamaya hem de varyansa eşit olduğunu bilmek, karmaşık hesaplama sorularında sana zaman kazandıracaktır.