Ki-kare bağımsızlık testi, sayısal olmayan (nitel) iki değişken arasındaki ilişkinin varlığını araştırmak amacıyla kullanılan temel istatistiksel tekniklerden biridir. Bu testin uygulanabilmesi için öncelikle sıfır hipotezi (H0) ve karşıt hipotez (H1) kurulmalıdır. Sıfır hipotezi, incelenen iki değişkenin birbirinden bağımsız olduğunu ve aralarında herhangi bir ilişki bulunmadığını savunur; karşıt hipotez ise bu değişkenler arasında bir ilişki (bağıntı) olduğunu ifade eder. Testin uygulanmasında izlenen adımlardan biri olan anlamlılık düzeyi (alfa) belirlendikten sonra, H0'ın red bölgesini saptamak için kritik ki-kare değeri tablodan aranır. Serbestlik derecesi, kontenjans tablosundaki satır sayısı (r) ve sütun sayısı (c) yardımıyla v = (r-1)(c-1) formülüyle hesaplanır. Hesaplanan test istatistiği bu kritik değerden büyükse H0 reddedilir, aksi takdirde reddedilemez. Test istatistiğinin hesaplanabilmesi için gözlenen frekansların (G) yanı sıra beklenen (kuramsal) frekansların (B) de bulunması şarttır. Herhangi bir gözenin beklenen frekansı, o gözenin yer aldığı satır toplamı ile sütun toplamının çarpılıp genel toplam frekansa bölünmesiyle elde edilir. Gözlenen ve beklenen frekanslar arasındaki farkın karesinin beklenen frekansa bölünmesiyle oluşan oranların toplamı ki-kare test istatistiğini verir. İstatistiksel karar aşamasında, elde edilen ki-kare değeri tablodan bulunan kritik değerle kıyaslanır. Eğer ki-kare değeri kritik değerden küçük veya eşitse H0 hipotezi kabul edilir, bu da değişkenler arasında anlamlı bir ilişki olmadığını gösterir. Örneğin sigara içme alışkanlığı ile eğitim düzeyi arasındaki ilişkinin incelendiği çalışmalarda bu adımlar sırasıyla uygulanarak karar verilir. Ki-kare homojenlik testi, iki ya da daha fazla bağımsız örneklemin aynı anakütleden seçilip seçilmediğini araştırmak için kullanılan bir yöntemdir. Bağımsızlık testinde değişkenler arasındaki ilişki sorgulanırken, homojenlik testinde örneklemlerin homojenliği yani aynı evrene ait olup olmadığı test edilir. Testin adımları yapısal olarak bağımsızlık testine benzer; ilk adımda H0 hipotezi örneklemlerin aynı anakütleden seçildiğini öne sürerken, H1 hipotezi farklı anakütlelerden seçildiğini savunur. Serbestlik derecesi yine v = (r-1)(c-1) formülüyle hesaplanır ve tablodan kritik ki-kare değeri belirlenir. Beklenen frekansların hesaplanmasında da aynı mantık geçerlidir; her gözenin satır ve sütun toplamları çarpılıp genel toplama bölünür. Fabrikaların farklı tekniklerle üretilen ürünlerinin yıpranma sürelerinin karşılaştırılması gibi durumlarda homojenlik testi başarıyla uygulanır. Hesaplanan ki-kare test istatistiği tablodaki kritik değerle karşılaştırılır. Test sonucunda hesaplanan değer küçük çıkarsa H0 hipotezi kabul edilir ve örneklemlerin aynı anakütleyi temsil ettiği sonucuna varılır. Ki-kare uygunluk testi, n hacimli bir örneklemin ilgili anakütleyi ne kadar iyi temsil edip edemeyeceğini incelemek amacıyla kullanılır. Gözlenen frekansların teorik ya da genellenmiş bir dağılıma (örneğin eşit olasılıklara) uyup uymadığını test eder. Bu testte hipotezler kurulurken, tüm gruplar veya sınıflar için oranların aynı olduğu (örneğin başarı oranlarının fakülteler arasında fark göstermediği) sıfır hipotezi olarak belirlenir. Karşıt hipotez ise en az bir grupta oranın farklı olduğunu ifade eder. Uygunluk testinde serbestlik derecesi sınıf sayısına (k) bağlıdır ve v = k - 1 formülüyle hesaplanır. Anlamlılık düzeyine ve bu serbestlik derecesine göre tablodan kritik ki-kare değeri bulunur. Beklenen frekanslar, toplam örneklem hacminin öngörülen olasılıkla çarpılmasıyla elde edilir. Örneğin bir üniversitedeki altı fakülte için eşit başarı bekleniyorsa, her fakültenin beklenen frekansı toplam öğrenci sayısının altıda birine eşit olur. Hesaplanan ki-kare istatistiği kritik değerle kıyaslanarak uyum hakkında karar verilir. Ki-kare bağımsızlık ve homojenlik testleri değişkenler arasında ilişki olup olmadığını söylerken, ilişkilerin kuvveti veya derecesi hakkında doğrudan bilgi vermez. Bu eksikliği gidermek için r x c boyutundaki kontenjans tablolarından yararlanarak ilişki düzeyini saptayan kontenjans katsayısı (C) kullanılır. Kontenjans katsayısının hesaplanabilmesi için öncelikle ki-kare test istatistiği değeri ve örneklem büyüklüğü (n) bilinmelidir. Katsayı formülü C = karekök içinde [x² / (x² + n)] şeklinde ifade edilir. İki değişken arasında hiçbir ilişki bulunmadığı durumlarda kontenjans katsayısının değeri sıfır (C = 0) çıkar. Buna karşılık, iki değişken arasında güçlü bir ilişki olduğunda katsayı 1'e çok yakın bir değer alır ancak tam olarak 1,5 veya 1 olmayabilir. Örneğin gelir düzeyi ile araç yakıt türü arasındaki ilişkinin derecesini bulmak için ki-kare değeri formülde yerine konulur ve elde edilen katsayıya göre ilişkinin zayıf, orta veya kuvvetli olduğuna karar verilir.