Ünite 5: Olasılık Kuramı

Kamyon Nakliye Gecikme Analizi

Bir süt ürünleri firması ayda 300 nakliye gerçekleştirmektedir. Yapılan incelemede bu nakliyelerden 18 tanesinin geciktiği belirlenmiştir. Bu veriye dayanarak, gelecek ay yapılacak herhangi bir nakliyenin gecikme olasılığı deneysel olasılıkla %6 (0,06) olarak hesaplanmıştır.

Kargo Gönderim Mesafesi Dağılımı

Bir kargo firmasının bir günde gönderdiği 200 adet kargodan 5'i yakın, 80'i kısa, 100'ü orta ve 15'i uzun mesafeye gönderilmektedir. Gönderilen bir kargonun kısa veya orta mesafeye gitme olasılığı özel toplama kuralıyla %90 (0,90) olarak bulunmuştur.

Ankara-İstanbul Kamyon Seferleri

Eskişehir'deki bir fabrikadan Ankara ve İstanbul'a gönderilen kamyonlardan 120 adetlik bir örneklem seçilmiştir. Ankara'ya 90, İstanbul'a 48 kamyon gönderilmiş olup, 54 kamyonun her iki ile de gittiği (ortak olasılık) tespit edilmiştir. Seçilen bir kamyonun en az bir ile gitme olasılığı genel toplama kuralıyla %70'tir.

İstatistik Dersi Başarı Oranı

Geçen yıl İstatistik dersini alan öğrencilerin %70'inin başarılı olduğu bilinmektedir. Bu öğrenciler arasından rassal olarak seçilen 3 öğrencinin üçünün de başarılı olmuş olma olasılığı, olayların bağımsız olduğu varsayımıyla özel çarpma kuralı kullanılarak 0,343 (%34,3) olarak hesaplanmıştır.

Anahtar Kavramlar

Klasik OlasılıkBir denemenin tüm sonuçlarının eşit olasılıklı olduğu varsayımına dayanan, ilgilenilen sonuç sayısının olası tüm sonuç sayısına bölünmesiyle hesaplanan olasılık yaklaşımıdır. Örneğin, hilesiz bir zar atıldığında 4'ten büyük gelme olasılığının 2/6 olması bu yaklaşımla bulunur.

Deneysel OlasılıkBir olayın gerçekleşme olasılığının, geçmişte benzer olayların gerçekleşme sayısının toplam gözlem sayısına oranlanmasıyla hesaplandığı yaklaşımdır. Örneğin, bir firmanın geçmiş 300 teslimatından 18'inin gecikmiş olmasına dayanarak gelecek ayki gecikme olasılığının %6 olarak tahmin edilmesi bu yaklaşıma örnektir.

Öznel (Subjektif) OlasılıkGeçmiş deneyim veya verinin bulunmadığı durumlarda, eldeki mevcut görüş ve bilgilerin değerlendirilerek kişisel olarak tahmin edilen olasılık değeridir. Bir öğrencinin İstatistik sınavından 80 üzerinde alma olasılığını tahmin etmesi bu yaklaşıma örnektir.

Karşılıklı Ayrık OlaylarBir olay gerçekleştiği anda diğer olayların hiçbirinin gerçekleşmesinin mümkün olmadığı olaylar kümesidir. Örneğin, bir şirketten seçilen bir personelin aynı anda hem erkek hem kadın olamaması karşılıklı ayrık bir durumdur.

Bütüne Tamamlayan OlaylarBir denemenin olası tüm sonuçlarını eksiksiz olarak içeren olaylar kümesidir. Örneğin, zar atma denemesinde 'zarın 4'ten küçük gelmesi' ile 'zarın 3'ten büyük gelmesi' olayları bütüne tamamlayan olaylardır.

Ortak Olasılıkİki veya daha fazla olayın aynı anda ve birlikte gerçekleşme şansını ölçen olasılık değeridir. Örneğin, seçilen bir kartın hem ikili hem de karo olması olasılığı ortak olasılıktır.

Bağımsız OlaylarBir olayın gerçekleşmesinin, bir diğer olayın gerçekleşme olasılığını hiçbir şekilde etkilemediği olaylardır. Bir zarın üst üste iki kez atılması durumunda ikinci atışın sonucu, birinci atışın sonucundan bağımsızdır.

Bağımlı OlaylarBir olayın gerçekleşme olasılığının, diğer bir olayın gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlı olarak değiştiği olaylardır. Torbadan çekilen bilyenin geri konulmadan ikinci bir bilye çekilmesi durumunda ikinci çekim bağımlı bir olaydır.

Koşullu OlasılıkBir B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre, A olayının gerçekleşme olasılığıdır ve P(A|B) ile gösterilir. Örneğin, torbadan çekilen ilk bilyenin sarı olduğu bilindiğinde, ikinci bilyenin sarı olma olasılığı koşullu olasılıktır.

Önsel OlasılıkHerhangi bir deneysel veri veya ek bilgi elde edilmeden önce, mevcut bilgi düzeyine göre belirlenen başlangıç olasılığıdır. Kurye analizinde birinci kuryenin siparişi götürme olasılığının başlangıçta %40 olarak belirlenmesi önsel olasılıktır.

Sonsal OlasılıkSisteme eklenen yeni bir bilgi veya deneysel veri doğrultusunda, Bayes teoremi kullanılarak yeniden düzenlenen ve güncellenen olasılık değeridir. Siparişin geç kaldığı bilindiğinde, bu teslimatı birinci kuryenin yapmış olma olasılığının %77'ye çıkması sonsal olasılıktır.

Saymanın Temel İlkesiBir işlem m farklı yolla, diğer bir işlem n farklı yolla gerçekleşebiliyorsa, bu iki işlemin birlikte m x n farklı yolla gerçekleşeceğini belirten temel sayma kuralıdır.

Permütasyonn elemanlı bir nesne grubundan seçilen r adet nesnenin, diziliş sırası önemli olacak şekilde yapılan her bir sıralanışıdır. Yemek masası, televizyon sehpası ve komidinin kamyondan indirilme sırası permütasyon ile hesaplanır.

KombinasyonSeçilecek nesnelerin diziliş sırasının önemli olmadığı, sadece hangi nesnelerin seçildiğinin önemli olduğu gruplama işlemidir. 6 farklı meyve arasından sıraya bakılmaksızın 2 meyve seçilmesi kombinasyona örnektir.

Rassal DeğişkenDenemeden denemeye farklı değerler alan ve aldığı bu değerleri şansa bağlı belirli olasılıklarla üstlenen değişkenlerdir. Bir şirkette mazeretsiz işe gelmeyen personel sayısı rassal değişkene örnektir.

Kesikli Rassal DeğişkenSonlu veya sayılabilir sayıda farklı değer alabilen, genellikle sayma yoluyla elde edilen rassal değişken türüdür. Bir sınıftaki öğrencilerin sınavda doğru cevapladığı soru sayısı kesikli rassal değişkendir.

Sürekli Rassal DeğişkenBelirli bir aralıkta sayılamayacak veya sonsuz sayıda değer alabilen, genellikle ölçüm yoluyla elde edilen rassal değişken türüdür. Bir vidanın uzunluğu veya bir odanın sıcaklığı sürekli rassal değişkendir.

Olasılık DağılımıBir denemedeki olası tüm sonuçların ve bu sonuçların her birine ilişkin gerçekleşme olasılıklarının bir arada sunulduğu liste veya tablodur. İki bozuk para atıldığında gelen tura sayılarının ve olasılıklarının listelenmesi bir olasılık dağılımıdır.

Beklenen DeğerBir olasılık dağılımının merkezi eğilimini gösteren, rassal değişkenin aldığı değerlerin kendi olasılıklarıyla ağırlıklandırılmasıyla hesaplanan aritmetik ortalamasıdır.

Binom DağılımıHer denemede sadece iki karşılıklı ayrık sonucun bulunduğu, denemelerin bağımsız ve olasılıkların sabit olduğu durumlar için kullanılan kesikli olasılık dağılımıdır. Üretilen ürünlerin kusurlu veya kusursuz olması binom dağılımına uyar.

Normal DağılımAritmetik ortalama, mod ve medyanın eşit olduğu, simetrik çan eğrisi biçimindeki sürekli olasılık dağılımıdır. İnsanların boy uzunlukları veya ürünlerin raf ömürleri genellikle normal dağılım gösterir.

Standart Normal Dağılım (z Dağılımı)Aritmetik ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan, tüm normal dağılım olasılıklarını hesaplamada referans olarak kullanılan özel bir sürekli olasılık dağılımıdır.

Diğer Önemli Bilgiler

Eskişehir Banka ve Kredi Kullanımı

Eskişehir'de yapılan bir araştırmaya göre, sakinlerin %16'sının belirli bir bankada hesabı vardır. Bu hesap sahiplerinin %22'si geçen yıl tüketici kredisi çekmiştir. Rassal seçilen bir kişinin hem hesaba sahip olması hem de kredi çekmiş olması olasılığı genel çarpma kuralıyla %3,52 (0,0352) olarak bulunmuştur.

Motosikletli Kurye Teslimat Analizi

Bir restoranda siparişlerin %40'ını birinci kurye, %60'ını ikinci kurye taşımaktadır. Birinci kuryenin geç teslimat yapma olasılığı %25, ikincisinin ise %5'tir. Seçilen bir siparişin geç teslim edildiği bilindiğinde, bunu birinci kuryenin taşımış olma olasılığı Bayes teoremiyle %77 olarak hesaplanmıştır.

Matbaa Makinesi Hata Oranları

Bir matbaada kitapların %35'i birinci, %25'i ikinci, %40'ı üçüncü makinede basılmaktadır. Makinelerin hata oranları sırasıyla %2, %6 ve %3'tür. Seçilen hatalı bir kitabın üçüncü makinede basılmış olma olasılığı Bayes teoremiyle %35,29 (0,3529) olarak hesaplanmıştır.

Yönetim Kurulu Seçim Kombinasyonları

Bir şirketin yönetim kurulu seçimi için 3 kurul başkanı, 6 başkan yardımcısı ve 4 yazman adayı bulunmaktadır. Her pozisyona birer kişi seçilmek üzere, saymanın temel ilkesi doğrultusunda 3 x 6 x 4 = 72 farklı yönetim kurulu oluşturulabilmektedir.

Dernek Yönetim Kurulu Seçimi

15 üyeli bir dernekte bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir mali işler sorumlusu seçilecektir. Sıralama önemli olduğu için permütasyon kuralı uygulanmış ve bu üç kişilik kurulun 15 x 14 x 13 = 2730 farklı şekilde seçilebileceği hesaplanmıştır.

Meyve Seçim Kombinasyonları

6 farklı meyve arasından sırasına bakılmaksızın 2 meyve seçilmek istenmektedir. Seçim sırası önemsiz olduğundan kombinasyon kuralı uygulanmış ve bu işlemin 15 farklı şekilde gerçekleştirilebileceği hesaplanmıştır.

Bilye Çekme Koşullu Olasılığı

İçinde 8 kırmızı ve 4 sarı bilye bulunan bir torbadan geri konulmaksızın art arda çekim yapılmaktadır. İlk çekilen bilyenin sarı olduğu bilindiğinde, ikinci bilyenin de sarı olma olasılığı (koşullu olasılık) 3/11 olarak hesaplanmıştır.

Kusurlu Ürün Binom Analizi

Kusurlu olma olasılığı 1/20 (%5) olan bir fabrikada, seçilen 4 üründen en fazla birinin kusurlu olma olasılığı, karşılıklı ayrık durumların (0 veya 1 kusurlu) olasılıklarının toplanmasıyla %98,60 (0,9860) olarak bulunmuştur.

Normal Dağılımda ±3 Standart Sapma Kuralı

Normal dağılım gösteren bir seride, verilerin %68,26'sı ortalamanın ±1 standart sapma, %95,44'ü ±2 standart sapma ve %99,74'ü ±3 standart sapma sınırları içerisinde yer alır. Bu durum istatistikte ampirik kural olarak bilinir.

Lastik Dayanıklılık Testi

Bir fabrikada üretilen lastiklerin test dayanma süreleri ortalama 242 saniye ve standart sapması 36 saniye olan bir normal dağılıma sahiptir. Rassal seçilen bir lastiğin teste 300 saniyeden fazla dayanma olasılığı z dönüşümüyle %5,37 olarak hesaplanmıştır.

Yüksek Hızlı Tren Sefer Süreleri

Ankara-Eskişehir hattında çalışan yüksek hızlı trenin sefer tamamlama süreleri (örneğin 01:32:08 veya 01:29:44) sürekli rassal değişkenlere somut bir örnektir; çünkü zaman ölçümü kesintisiz bir aralıkta sonsuz değer alabilir.

Sınavda Dikkat Et

Sınavda 'en az' veya 'en fazla' olasılıkları sorulduğunda tümleyen kuralını [P(A) = 1 - P(A-)] kullanmak işlem süresini kısaltır.
Soruda nesnelerin diziliş veya seçiliş sırasının önemli olup olmadığına dikkat edin; sıra önemliyse Permütasyon, önemsizse Kombinasyon formülünü uygulayın.
Olasılık sorularında olayların karşılıklı ayrık olup olmadığını kontrol edin; ayrık değillerse genel toplama kuralındaki ortak olasılık çıkarma işlemini unutmayın.
Normal dağılım sorularında z dönüşümü yaparken formüldeki işlem sırasına dikkat edin; önce farkı bulun, sonra standart sapmaya bölün.
Binom dağılımı sorularında p (başarı) ve 1-p (başarısızlık) olasılıklarının toplamının her zaman 1 olması gerektiğini unutmayın.
Bayes teoremi sorularında önsel olasılıklar ile koşullu olasılıkları karıştırmamak için verilen bilgileri bir tabloya veya ağaç diyagramına yerleştirin.