Ünite 12: Regresyon ve Korelasyon Analizi

Korelasyon Katsayısının Sınırları

Korelasyon katsayısı (r) matematiksel olarak her zaman -1 ile +1 aralığında yer alır. r = +1 mükemmel pozitif ilişkiyi, r = -1 mükemmel negatif ilişkiyi, r = 0 ise doğrusal bir ilişkinin olmadığını gösterir.

Belirleme Katsayısının Sınırları

Belirleme katsayısı (R^2) her zaman 0 ile 1 arasında değer alır. Değerin 1'e yaklaşması modelin veriye mükemmel uyum sağladığını, 0'a yaklaşması ise bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni açıklayamadığını gösterir.

Ağırlık ve HDL Kolesterol Örneği

12 kişi üzerinde yapılan analizde, ağırlık (X) ile HDL kolesterol (Y) arasındaki regresyon denklemi Y = 13.7 + 0.371X olarak bulunmuştur. Bu model, ağırlıktaki her 1 kg artışın HDL değerinde 0.371 birim artışa yol açtığını gösterir.

HDL Örneğinde Korelasyon Değeri

Ağırlık ve HDL kolesterol verileri arasındaki Pearson korelasyon katsayısı r = 0.867 olarak hesaplanmıştır. Bu değer, iki değişken arasında pozitif yönde ve oldukça yüksek düzeyde bir ilişki olduğunu ortaya koyar.

Anahtar Kavramlar

Regresyon AnaliziBiri bağımlı diğeri bağımsız olan sürekli değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişkiyi matematiksel bir denklemle açıklayan ve bu denklem üzerinden tahmin yapmayı sağlayan istatistiksel yöntemdir.

Korelasyon Analiziİki veya daha fazla sürekli değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve derecesini belirlemek amacıyla kullanılan, neden-sonuç ilişkisi aramayan analiz tekniğidir.

Bağımlı Değişken (Y)Regresyon modelinde etkilenen, değeri bağımsız değişkenin aldığı değerlere göre değişen ve araştırmacının üzerinde doğrudan kontrolünün olmadığı sonuç değişkenidir.

Bağımsız Değişken (X)Regresyon modelinde etkileyen konumunda olan, araştırmacı tarafından kontrol edilebilen veya önceden belirlenebilen sebep değişkenidir.

Basit Doğrusal RegresyonYalnızca bir bağımlı ve bir bağımsız değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi inceleyen ve Y = a + bX formunda ifade edilen regresyon modelidir.

Çoklu Doğrusal RegresyonBir bağımlı değişken ile birden fazla bağımsız değişken arasındaki doğrusal ilişkiyi aynı anda inceleyen regresyon modelidir.

En Küçük Kareler YöntemiGözlem noktalarının regresyon doğrusuna olan dikey uzaklıklarının kareleri toplamını minimum yaparak en uygun doğruyu elde etmeyi amaçlayan parametre tahmin yöntemidir.

Regresyon Katsayısı (b)Regresyon doğrusunun eğimini gösteren ve bağımsız değişkendeki bir birimlik değişime karşılık bağımlı değişkende meydana gelen ortalama değişim miktarını ifade eden katsayıdır.

Korelasyon Katsayısı (r)İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ve yönünü gösteren, -1 ile +1 arasında değer alan istatistiksel ölçüdür.

Belirleme Katsayısı (R^2)Bağımlı değişkendeki toplam varyasyonun bağımsız değişken tarafından açıklanma oranını gösteren, 0 ile 1 arasında değişen uyum iyiliği ölçüsüdür.

Hata Terimi (e)Gözlenen gerçek değerler ile regresyon modeli tarafından tahmin edilen değerler arasındaki farkı temsil eden, şansa bağlı rassal değişkendir.

HomoskedastisiteBağımsız değişkenin her bir değeri için bağımlı değişkenin alt popülasyonlarının varyanslarının eşit olması varsayımıdır.

Eğim (Slope)Regresyon doğrusunun dikliğini belirleyen ve bağımsız değişkendeki değişimin bağımlı değişkeni ne ölçüde etkilediğini gösteren parametredir.

Y-Kesim Noktası (a)Bağımsız değişken X'in sıfır değerini alması durumunda, regresyon doğrusunun Y eksenini kestiği başlangıç değerini gösteren katsayıdır.

Pearson Korelasyon KatsayısıNormal dağılım gösteren iki sürekli değişken arasındaki doğrusal ilişkinin derecesini hesaplamada kullanılan parametrik korelasyon ölçüsüdür.

Geometrik Ortalama İlişkisiAynı veri setinde Y'nin X'e regresyon katsayısı ile X'in Y'ye regresyon katsayısının çarpımının karekökünün korelasyon katsayısına eşit olması durumudur.

Diğer Önemli Bilgiler

Boy ve Ağırlık Örneği

8 erkek bireyin boy ve ağırlık verileriyle kurulan regresyon modelinde denklem Y = -122.63 + 1.13X olarak hesaplanmıştır. Bu modele göre boydaki her 1 cm'lik artış ağırlıkta ortalama 1.13 kg artışa neden olmaktadır.

Boy ve Ağırlık Örneğinde R^2 Değeri

Boy ve ağırlık verileri için hesaplanan belirleme katsayısı R^2 = 0.524'tür. Bu sonuç, bireylerin ağırlıklarındaki değişkenliğin %52.4'ünün boy değişkeni tarafından açıklandığını gösterir.

Korelasyon Katsayısının Yorum Aralıkları

Korelasyon katsayısı r; 0.00-0.25 arası zayıf, 0.26-0.50 arası orta, 0.51-0.75 arası iyi ve 0.76-1.00 arası yüksek düzeyde pozitif ilişki olarak sınıflandırılır.

Korelasyon Katsayısının Önem Testi

Korelasyon katsayısının istatistiksel olarak sıfırdan farklı olup olmadığını test etmek için (n-2) serbestlik dereceli t dağılımı kullanılır. Katsayının yüksek olması tek başına önemli olduğu anlamına gelmez.

Hataların Toplamı Özelliği

En küçük kareler yöntemiyle elde edilen regresyon modelinde, gözlenen değerler ile tahmin edilen değerler arasındaki farkların (hataların) toplamı her zaman sıfıra (0) eşittir.

Regresyon Katsayılarının Eşit Olmaması

Aynı veri setinde Y'nin X'e göre regresyon katsayısı (b_yx) ile X'in Y'ye göre regresyon katsayısı (b_xy) matematiksel olarak birbirine eşit değildir ve farklı doğrular üretirler.

Korelasyon Katsayılarının Eşitliği

Regresyon katsayılarının aksine, Y'nin X'e göre korelasyon katsayısı (r_yx) ile X'in Y'ye göre korelasyon katsayısı (r_xy) her zaman birbirine eşittir.

Matris Sistemiyle Regresyon

Çoklu gözlemlerde regresyon katsayıları vektörü b, bağımsız değişken matrisi X ve bağımlı değişken vektörü Y kullanılarak b = (X'X)^(-1) X'Y formülüyle matris cebiri üzerinden hesaplanabilir.

Sınavda Dikkat Et

Korelasyon katsayısı (r) ile belirleme katsayısını (R^2) karıştırmayın; r yön belirtirken R^2 her zaman pozitiftir ve açıklayıcılık yüzdesini gösterir.
Regresyon katsayısı önemlilik testlerinde serbestlik derecesinin (n-2) olduğunu unutmayın; tablo değeri seçerken bu bilgi kritiktir.
Korelasyon katsayısının sadece ilişkinin gücünü gösterdiğini, asla bir değişkenin diğerinin nedeni olduğunu kanıtlamadığını aklınızda bulundurun.
Eğer soruda karşılıklı iki regresyon katsayısı verilip korelasyon sorulursa, doğrudan bu iki katsayıyı çarpıp karekökünü alarak sonuca ulaşın.
Güven sınırları hesaplanırken üst sınır 1'den büyük çıkarsa, korelasyon katsayısının doğası gereği bu değeri her zaman 1.00'e yuvarlayın.