Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
Modern matematiğin temeli olan küme kavramı, matematikçilerin uzun süre üzerinde fikir birliğine varamadıkları ve ortak bir tanım geliştirmekte zorlandıkları konulardan biri olmuştur. Başlangıçta Türkçe literatürde 'cümle' veya 'küme' kelimeleriyle karşılanan bu kavram, İngilizce'deki 'set' kelimesinin birebir karşılığıdır. İngilizce anlamı incelendiğinde 'set' yani 'küme', öyle bir topluluktur ki bu topluluğa hangi nesnelerin dâhil olduğunu, hangilerinin ise dâhil olmadığını kesin, şüpheye yer bırakmayacak bir netlikte bilebiliriz.
Buna karşın, sınırları ve içeriği net olmayan, içinde nelerin olup nelerin olamayacağı açıkça belirlenmemiş topluluklar İngilizce'de 'group' veya 'collection' olarak adlandırılır. Kümeler insanlık tarihi boyunca sezgisel olarak kullanılmış olsa da, kümenin matematiksel bir disiplin çerçevesinde tanımlanması ancak 19. yüzyılda Alman matematikçi Georg Cantor tarafından gerçekleştirilmiştir. Cantor'a göre matematik problemlerinde sayılar, noktalar, bağıntılar ve fonksiyonlar gibi soyut nesnelerle çalışıldığından, aslında matematiğin uğraştığı tek bir temel nesne vardır, o da kümedir.
Cantor'un bu yaklaşımına göre sayıların kümesi, noktaların kümesi veya fonksiyonların kümesi gibi yapılar dışında matematiğin hiçbir ek nesneye ihtiyacı yoktur; esas olan bu kümeler arasındaki ilişkilerin ve bağıntıların araştırılmasıdır. Günümüzde küme kavramı, birçok karmaşık matematiksel problemin anlatımını kolaylaştırmada ve matematiğin en önemli konularından biri olan bağıntı (fonksiyon) kavramının temelini oluşturmada hayati bir rol oynamaktadır.
Eşya, canlı ve cansız varlıkların her birine nesne denir. Belirli bir ortak özelliğe sahip, iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesneler topluluğuna küme adı verilir. Bir topluluğun küme belirtebilmesi için en temel şart, nesnelerin herkes tarafından aynı şekilde, açık seçik anlaşılması ve kişiden kişiye değişmeyen nesnel bir sınırının olmasıdır. Örneğin, 'bir sınıftaki öğrenciler', 'Türk alfabesindeki sesli harfler' veya 'İktisat Fakültesi 1. sınıf öğrencileri' ifadeleri herkes için aynı elemanları işaret ettiğinden geçerli birer küme oluşturur.
Buna karşılık, 'Türkiye'nin bazı illeri', 'yılın soğuk geçen ayları' veya 'sınıfımızdaki bazı uzun boylu öğrenciler' gibi ifadeler kişisel yorumlara açık olduğundan ve net bir sınır çizmediğinden küme belirtmezler. Örneğin, bir kişiye 'bize 5 il adı yazın' denildiğinde oluşacak liste kişiye göre değişecektir; dolayısıyla bu tür öznel topluluklar matematiksel anlamda küme kabul edilmez.
Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilirken, kümenin elemanları a, b, c gibi küçük harflerle gösterilir. Bir x nesnesi A kümesinin elemanı ise bu durum 'x ∈ A' sembolüyle gösterilir ve 'x elemanıdır A' şeklinde okunur. Eğer x nesnesi A kümesinin elemanı değilse, 'x ∉ A' sembolü kullanılır ve 'x elemanı değildir A' şeklinde okunur. Küme parantezi olan '{ }' sembolü, elemanları bir arada tutan sınırları temsil eder.
Kümeler matematikte üç farklı yöntemle gösterilir. Birinci yöntem olan 'Listeleme Yöntemi', kümenin tüm elemanlarının küme parantezi '{ }' içerisine, aralarına virgül konularak yazılmasıdır. Bu yöntemde elemanların yazılış sırasının hiçbir önemi yoktur ve en kritik kural olarak her eleman küme içine yalnızca bir kez yazılır. Örneğin, Türkçe alfabesindeki sesli harfler kümesi listeleme yöntemiyle SH = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü} şeklinde gösterilir.
İkinci yöntem olan 'Venn Şeması Yöntemi', küme elemanlarının daire, elips veya dikdörtgen gibi kapalı geometrik bir sınır içine yazılarak görselleştirilmesidir. Bu gösterimde her elemanın soluna veya yanına konumunu belirtmek amacıyla bir nokta (.) konulur. Venn şeması, kümeler arasındaki kesişim, birleşim ve fark gibi işlemlerin görsel olarak kolayca algılanmasını sağlar.
Üçüncü yöntem ise 'Özellik Belirterek Gösterim' (Ortak Özellik Yöntemi) olup, kümenin elemanları arasında bulunan ortak bir özelliğin matematiksel veya sözel bir ifadeyle sunulmasıdır. Bu yöntem genellikle eleman sayısı çok fazla olan veya sonsuz olan kümeleri ifade etmek için tercih edilir. Gösterim 'A = {x | x'in bir özelliği}' veya 'A = {x : x'in bir özelliği}' biçimindedir. Buradaki dikey çizgi '|' veya iki nokta üst üste ':' sembolü 'öyle x'lerden oluşur ki' anlamına gelir.
Kümelerin eleman yapılarına ve sayılarına göre karşılaştırılmasında çeşitli tanımlar mevcuttur. Eğer A ve B kümeleri birebir aynı elemanlara sahipse bu kümelere 'Eşit Kümeler' denir ve 'A = B' şeklinde gösterilir. Eleman sayıları aynı olan, yani elemanları arasında birebir eşleme yapılabilen kümelere ise 'Denk Kümeler' denir. Her eşit küme aynı zamanda denktir, ancak her denk küme eşit olmak zorunda değildir. Örneğin, A = {2, 4, 6} ve B = {k, l, m} kümelerinin eleman sayıları eşit olduğundan denktirler, fakat elemanları farklı olduğu için eşit değillerdir.
Elemanları sayılarak bitirilebilen kümelere 'Sonlu Kümeler', elemanları sayılamayacak kadar çok olan veya sonsuza uzanan kümelere ise 'Sonsuz Kümeler' denir. Doğal Sayılar Kümesi N = {0, 1, 2, 3, ...} sonsuz bir kümedir. Benzer şekilde, reel sayı ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki sayılar da sonsuzdur ve liste yöntemiyle yazılamazlar. Bu durumlar için açık aralık (a, b), yarı açık aralık (a, b] veya kapalı aralık [a, b] gibi aralık kavramları kullanılır.
Sayı kümeleri arasında hiyerarşik bir kapsama ilişkisi bulunur. Sayma sayılarından başlayarak Doğal Sayılar (N), Tam Sayılar (Z) kümesinin alt kümesidir. Tam Sayılar kümesi Rasyonel Sayılar (Q) kümesinin alt kümesidir. Rasyonel Sayılar ile İrrasyonel Sayıların (I) birleşimi ise en geniş sayı kümesi olan Reel Sayılar (R) kümesini oluşturur. Bu ilişki N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R zinciriyle ifade edilir.
Bir A kümesinin her elemanı aynı zamanda bir B kümesinin de elemanı ise, A kümesine B kümesinin 'Alt Kümesi' denir ve 'A ⊆ B' şeklinde gösterilir. Bu durum tersten 'B kümesi A kümesini kapsar' (B ⊇ A) şeklinde de ifade edilebilir. n elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı 2^n formülüyle hesaplanır. Örneğin, 3 elemanlı bir kümenin 2^3 = 8 tane alt kümesi vardır.
Bir A kümesi, B kümesinin alt kümesi olmasına rağmen B kümesine eşit değilse (A ≠ B), A kümesine B'nin 'Öz Alt Kümesi' denir ve 'A ⊂ B' ile gösterilir. n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı, kendisi hariç tutulduğu için 2^n - 1 formülüyle bulunur. Boş küme (Ø), elemanı olmayan kümedir ve her kümenin alt kümesidir. Aynı zamanda her küme kendisinin de bir alt kümesidir.
Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri içine alacak şekilde seçilen, boş kümeden farklı ve yeterince geniş olan kümeye 'Evrensel Küme' denir ve genellikle 'E' veya 'U' harfiyle gösterilir. Evrensel kümenin sınırları içerisinde yer alıp, belirli bir A kümesinin dışında kalan elemanların oluşturduğu kümeye ise 'A'nın Tümleyeni' denir ve 'A'' veya 'Ā' ile gösterilir. Tümleyen kümesi matematiksel olarak A' = {x | x ∉ A ve x ∈ E} şeklinde tanımlanır.
Kümeler arasında birleşim, kesişim ve fark olmak üzere üç temel işlem tanımlanmıştır. İki kümenin birleşimi (A ∪ B), her iki kümede bulunan tüm elemanların bir araya getirilmesiyle oluşur; ortak elemanlar birleşime yalnızca bir kez yazılır. İki kümenin kesişimi (A ∩ B) ise yalnızca her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan meydana gelir. Eğer iki kümenin ortak hiçbir elemanı yoksa, yani kesişimleri boş küme ise (A ∩ B = Ø), bu kümelere 'Ayrık Kümeler' denir.
Fark işlemi, bir kümede olup diğer kümede olmayan elemanları belirler. A fark B kümesi (A \ B veya A - B), A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanların kümesidir. Benzer şekilde B fark A (B \ A), B'de olup A'da olmayan elemanları içerir. Küme işlemlerinde değişme, birleşme ve dağılma özellikleri geçerlidir. Örneğin, birleşim işleminin kesişim üzerine dağılma özelliği 'A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)' şeklindedir.
Ayrıca tümleyen işlemlerinde De Morgan kuralları geçerlidir. Bu kurallara göre, iki kümenin kesişiminin tümleyeni, tümleyenlerinin birleşimine eşittir: (A ∩ B)' = A' ∪ B'. İki kümenin birleşiminin tümleyeni ise tümleyenlerinin kesişimine eşittir: (A ∪ B)' = A' ∩ B'. Bir kümenin kendisiyle tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi (A ∪ A' = E), kesişimi ise boş kümeyi (A ∩ A' = Ø) verir.