Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
İki matematiksel niceliğin birbirine eşit olduğunu gösteren ifadelere denklem denir. Matematiksel olarak eşitlik, dengede duran bir teraziye benzetilebilir. Terazinin bir kefesinde yapılan bir değişiklik (ekleme, çıkarma, çarpma veya bölme), dengenin korunması için diğer kefede de aynen uygulanmalıdır. Bir eşitliğin denklem niteliği kazanabilmesi için içerisinde en az bir bilinmeyen (değişken) barındırması gerekir.
Denklemlerde bilinmeyenleri temsil etmek amacıyla genellikle x, y, z, t, u, v gibi harfler kullanılır. Bu bilinmeyenlerin önünde yer alan ve çarpan durumunda olan reel sayılara ise katsayı adı verilir. Katsayılar genellikle a, b, c, m, n, k gibi harflerle sembolize edilir. Denklemi doğru kılan, yani eşitliği sağlayan bilinmeyen değerlerine denklemin kökleri (çözümleri), bu kökleri bulma sürecine denklem çözme, köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi denir.
Denklemler içerdikleri bilinmeyen sayısına göre (bir bilinmeyenli, iki bilinmeyenli vb.) ve bilinmeyenin en yüksek üssüne göre (birinci dereceden, ikinci dereceden vb.) sınıflandırılırlar. Matematikte her denklem türünün çözüm yöntemi farklılık gösterdiğinden, denklemleri yapılarına göre analiz etmek ve uygun cebirsel araçları (özdeşlikler, çarpanlara ayırma, diskriminant vb.) devreye sokmak gerekir.
Özdeşlik, bilinmeyenin alabileceği her reel sayı değeri için her zaman doğru olan eşitliklerdir. Denklem çözümlerinde karmaşık ifadeleri sadeleştirmek ve kökleri bulmak için özdeşliklerden ve çarpanlara ayırma yöntemlerinden sıkça yararlanılır. En temel özdeşliklerin başında iki kare farkı gelir: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Bu formül, büyük sayıların kareleri farkını hesaplamada veya ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmada büyük kolaylık sağlar.
Diğer önemli özdeşlikler arasında tam kare açılımları yer alır. İki terimin toplamının veya farkının karesi sırasıyla (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ve (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 şeklinde açılır. Benzer şekilde küp açılımları ve küp toplamı/farkı formülleri de cebirsel sadeleştirmelerde kritik rol oynar. Örneğin, küp toplamı a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) ve küp farkı a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Eğer bir cebirsel ifadede tüm terimlerde ortak bir çarpan bulunmuyorsa, gruplandırarak çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır. Terimler ikişerli veya üçerli gruplara ayrılarak kendi içlerinde ortak paranteze alınır ve ardından ortak bir parantez daha aranır. İkinci dereceden x^2 + bx + c = 0 tipindeki denklemlerde ise çarpımları c'yi, toplamları b'yi veren iki sayı bulunarak ifade (x - x1)(x - x2) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrıştırılır.
Düzlemde noktaların konumunu belirlemek ve iki bilinmeyenli denklemlerin çözümlerini görselleştirmek amacıyla Kartezyen Koordinat Sistemi kullanılır. Bu sistem, başlangıç noktalarında (orijin) birbirini dik kesen iki sayı doğrusundan oluşur. Yatay eksene x-ekseni (apsisler ekseni), düşey eksene ise y-ekseni (ordinatlar ekseni) denir. Eksenlerin kesişim noktası O(0,0) orijindir ve bu eksenler düzlemi dört bölgeye ayırır.
Düzlemdeki her bir noktaya karşılık gelen bir (a, b) sıralı ikilisi vardır. Burada 'a' noktanın apsisini, 'b' ise ordinatını temsil eder. Birinci bölgede her iki koordinat da pozitif (+, +), ikinci bölgede apsis negatif ordinat pozitif (-, +), üçüncü bölgede her ikisi de negatif (-, -) ve dördüncü bölgede apsis pozitif ordinat negatiftir (+, -). İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin grafikleri analitik düzlemde birer doğru belirtir.
ax + b = 0 (a ≠ 0) biçimindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli doğrusal denklem denir ve tek bir kökü vardır: x = -b/a. İki bilinmeyenli doğrusal denklemler ise ax + by + c = 0 biçimindedir ve sonsuz sayıda (x, y) çözümü vardır. Birden fazla iki bilinmeyenli denklemin oluşturduğu sistemlerin (denklem takımları) çözümünde ise yok etme veya yerine koyma yöntemleri kullanılarak doğruların kesişim noktası olan ortak çözüm aranır.
a, b, c gerçel sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere, ax^2 + bx + c = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemlerin çözümünde öncelikle çarpanlara ayırma yöntemi denenir. Eğer ifade kolayca çarpanlarına ayrılamıyorsa, diskriminant (Delta) hesabı devreye sokulur. Diskriminant, Delta = b^2 - 4ac formülü ile hesaplanır.
Diskriminantın değeri denklemin köklerinin karakterini belirler. Eğer Delta > 0 ise, denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır ve bu kökler x = (-b ± √Delta) / 2a formülüyle bulunur. Eğer Delta = 0 ise, denklemin birbirine eşit (çakışık/çift katlı) iki gerçel kökü vardır (x1 = x2 = -b/2a). Eğer Delta < 0 ise, denklemin gerçel sayılar kümesinde kökü yoktur, yani çözüm kümesi boş kümedir.
İkinci dereceden denklemler fiziksel, ekonomik ve geometrik problemlerin modellenmesinde sıkça karşımıza çıkar. Örneğin, bir arsanın boyutlarının artırılmasıyla alanın iki katına çıkarılması problemi veya bir ürünün gelir-maliyet analizleri ikinci dereceden denklemler kurularak çözülür. Elde edilen köklerden negatif olanlar uzunluk veya miktar gibi fiziksel büyüklükleri temsil edemeyeceği için elenir ve sadece pozitif kök çözüm olarak kabul edilir.
İki matematiksel nicelik arasındaki büyüklük, küçüklük, büyük-eşit veya küçük-eşit ilişkisini gösteren ifadelere eşitsizlik denir. Denklemlerin çözümü genellikle belirli noktalardan oluşurken, eşitsizliklerin çözümü çoğunlukla sayı doğrusu üzerinde belirli bir aralığı (noktalar kümesini) temsil eder. Eşitsizliklerin çözümünde de denklemlere benzer adımlar izlenir ancak bazı kritik kurallara dikkat edilmesi gerekir.
Eşitsizlik çözümünde en önemli kural, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesidir (örneğin '<' işareti '>' haline gelir). Pozitif bir sayı ile çarpma veya bölmede ise yön değişmez. Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir, bu işlem eşitsizliğin yönünü etkilemez.
İkinci dereceden eşitsizliklerin (ax^2 + bx + c > 0 veya < 0) çözümünde ise öncelikle ifadenin kökleri bulunur ve bir işaret tablosu oluşturulur. İşaret tablosunda en sağdaki bölgeye, x^2'li terimin katsayısı olan 'a' sayısının işareti yazılır. Sola doğru her kökten geçildiğinde işaret değiştirilir (çift katlı kökler hariç, çift katlı köklerde işaret değişmez). Tablo üzerinden eşitsizliği sağlayan aralıklar belirlenerek çözüm kümesi yazılır.