Maksimizasyon problemlerinde Zj - Cj satırındaki en büyük negatif değer seçilir. Bu seçim, birim başına kar artışı en yüksek olan değişkenin üretime öncelikle dahil edilmesini sağlar.
Anahtar satır seçimi için yapılan oran testinde, anahtar sütundaki sıfır veya negatif değerler bölme işlemine dahil edilmez. Sadece pozitif değerlere bölüm yapılır.
Simpleks algoritmasının her adımında, temel değişkenlerin sütunlarında mutlaka birim matris (1 ve 0'lardan oluşan yapı) korunmak zorundadır.
Maksimizasyon problemlerinde Zj - Cj satırındaki tüm değerler >= 0 olduğunda optimal çözüme ulaşılmıştır. Bu aşamadan sonra yeni bir iterasyon yapılmaz.
Minimizasyon problemlerinde Zj - Cj satırındaki tüm değerler <= 0 olduğunda optimal çözüme ulaşılmış kabul edilir ve iterasyonlar durdurulur.
Yapay değişkenler modele eklendiğinde amaç fonksiyonunda maksimizasyon için -M, minimizasyon için +M katsayısını alarak çözüm kümesinden hızla uzaklaştırılmaya çalışılır.
Simpleks yöntem, grafik çözümdeki uygun bölgenin köşe noktalarını cebirsel olarak ziyaret eder. Her iterasyonda amaç fonksiyonu değeri ya iyileşir ya da aynı kalır.
Simpleks Yöntem, 1947 yılında Amerikalı matematikçi George Bernard Dantzig tarafından geliştirilmiştir. Bu yöntem, İkinci Dünya Savaşı sırasındaki askeri lojistik ve planlama problemlerini çözmek amacıyla ortaya çıkmış ve modern yöneylem araştırmasının temel taşı olmuştur.
Simpleks algoritması kısıtların yapısına göre farklılaşır. Eşitlik veya büyük eşittir kısıtları içerdiğinde yapay değişkenlerin elenmesi için George Dantzig tarafından geliştirilen 'Büyük M Metodu' (Big M method) kullanılır.
Doğrusal denklem sisteminde rank katsayılar matrisi ile genişletilmiş matrisin rankı eşit (rank(A) = rank(A;b) = 2) ve değişken sayısı denklem sayısından fazla (n=4, m=2) olduğunda sistemin sonsuz çözümü vardır.
4 değişkenli ve 2 denklemli bir doğrusal modelde olası temel çözüm sayısı C(4,2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6 farklı kombinasyon olarak hesaplanır. Bu durum tablonun köşe noktalarını temsil eder.
Amaç fonksiyonuna eklenen aylak değişkenlerin (S1, S2) katsayıları her zaman sıfır (0) olarak belirlenir. Çünkü bu değişkenler üretime doğrudan kâr veya maliyet katkısı sağlamayan atıl kaynakları gösterir.
Çıkacak değişkeni belirlemek için yapılan oran testinde, çözüm sütunundaki değerler sadece anahtar sütundaki pozitif (>0) değerlere bölünür. Sıfır ve negatif değerler kesinlikle bölme işlemine dahil edilmez.
Simpleks çözümünde S1 = 0 ve S2 = 0 çıkması, birinci ve ikinci kısıtlardaki tüm kaynakların (kapasitelerin) son birimine kadar tam olarak kullanıldığını ve hiç atıl kapasite kalmadığını gösterir.
Grafik yöntemiyle çözülen iki değişkenli bir modelde köşe noktaları (0,16), (28,0) ve (20,6) olarak bulunurken, Simpleks yöntem de aynı optimal noktayı (20,6) değeriyle 1480 kâr seviyesinde bulur.
Günde 92 m3 tahta ve 20 kg boya kısıtı altında, sandalye başına 300 TL ve koltuk başına 400 TL kâr bırakan bir işletmenin amaç fonksiyonu Z = 300X1 + 400X2 olarak modellenir.
A ve B tipi buzdolabı üreten işletmede 1200 entegre ve 800 dijital ekran sınırı vardır. Modelin kısıtları 5X1 + 3X2 <= 1200 ve 2X1 + 4X2 <= 800 şeklinde doğrusal olarak kurulur.
Bir maksimizasyon probleminde optimal çözüme ulaşıldığının kanıtı, Zj - Cj satırındaki tüm değerlerin sıfır veya pozitif (>= 0) olmasıdır. Negatif değer kalmadığında iterasyon sonlandırılır.
Simpleks algoritmasında yapay değişkenler (a) amaç fonksiyonunda maksimizasyon problemlerinde çok büyük bir negatif katsayı olan '-M' ile cezalandırılarak çözümden çıkmaya zorlanır.