Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
Fonksiyon, matematikteki en temel yapı taşlarından biridir. Boş kümeden farklı A ve B kümeleri ele alındığında, A kümesinin her bir elemanını B kümesinin tam olarak bir elemanı ile eşleştiren kurala 'fonksiyon' denir. Burada A kümesine 'tanım kümesi' (kalkış kümesi), B kümesine ise 'değer kümesi' (varış kümesi) adı verilir. Fonksiyon f: A → B şeklinde gösterilir.
Bir eşlemenin fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir: Birincisi, tanım kümesindeki her eleman mutlaka bir eşleşmeye sahip olmalıdır (açıkta eleman kalmamalı). İkincisi, tanım kümesindeki bir eleman, değer kümesinde birden fazla elemanla eşleşmemelidir. Eğer bir eleman iki farklı değere gidiyorsa veya tanım kümesinde eşleşmeyen bir eleman varsa, bu yapı fonksiyon değildir.
Fonksiyonlarda 'görüntü kümesi' kavramı, tanım kümesindeki elemanların eşleştiği değerlerin oluşturduğu kümedir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir. Fonksiyonun kuralı, tanım kümesindeki bir 'a' elemanını değer kümesindeki 'f(a)' elemanına götüren bir reçete gibidir.
Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki tek bir elemana eşleyen fonksiyondur. Yani her x değeri için f(x) = c (c sabit bir sayı) olur. Bire-bir fonksiyon ise tanım kümesindeki farklı elemanların, değer kümesinde de farklı elemanlara gitmesini gerektirir. Eğer x1 farklı x2 ise f(x1) de farklı f(x2) olmalıdır.
Örten fonksiyon, değer kümesinde boşta eleman kalmayan, yani görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyondur. Bir fonksiyon hem bire-bir hem de örten ise, bu fonksiyon tersi alınabilir bir yapıdadır. Birim fonksiyon ise, tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen (f(x) = x) özel bir fonksiyondur ve genellikle I ile gösterilir.
Ters fonksiyon (f⁻¹), bir fonksiyonun yaptığı eşlemenin tam tersini yapar. Ancak bir fonksiyonun tersinin var olabilmesi için mutlaka bire-bir ve örten olması şarttır. Eğer fonksiyon örten değilse değer kümesindeki bazı elemanlar eşleşmemiş kalır, bire-bir değilse tersi alındığında bir eleman birden fazla değere gitmeye çalışır ki bu fonksiyon tanımına aykırıdır.
İki fonksiyon arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir. Bu işlemler, fonksiyonların değerlerinin (f(x) ve g(x)) o noktadaki reel sayı değerleri üzerinden gerçekleştirilir. Bölme işleminde ise paydadaki fonksiyonun değerinin sıfır olmaması gerektiği unutulmamalıdır.
Bileşke fonksiyon (g ∘ f), bir fonksiyonun sonucunun diğerine girdi olarak verilmesi işlemidir. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) şeklinde tanımlanır. Burada f fonksiyonunun değer kümesi ile g fonksiyonunun tanım kümesinin uyumlu olması gerekir. Bileşke işleminde sıra çok önemlidir; g ∘ f ile f ∘ g genellikle aynı sonucu vermez.
Reel sayılar üzerinde tanımlı fonksiyonlarda 'bağımsız değişken' (x) ve 'bağımlı değişken' (y = f(x)) kavramları kullanılır. Parçalı tanımlı fonksiyonlar ise tanım kümesinin farklı aralıklarında farklı kurallarla çalışan fonksiyonlardır. Polinom fonksiyonlar ise x'in negatif olmayan tam sayı kuvvetlerini içeren, tüm reel sayılarda tanımlı fonksiyonlardır.
Fonksiyonun grafiği, (x, f(x)) sıralı ikililerinin kartezyen koordinat sistemindeki geometrik yeridir. Kartezyen koordinat sistemi, yatay (apsis) ve dikey (ordinat) eksenlerden oluşur. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek, onun davranışını görselleştirmemizi sağlar.
Doğru denklemleri, birinci dereceden fonksiyonların (f(x) = ax + b) grafikleridir. İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi 'm = (y2-y1) / (x2-x1)' formülü ile bulunur. Eğimi 'm' olan ve (x1, y1) noktasından geçen doğrunun denklemi ise y = m(x - x1) + y1 şeklinde yazılır.
Grafik üzerinde iki doğrunun paralelliği, eğimlerinin eşit olmasıyla anlaşılır. Eğer eğimler farklıysa doğrular bir noktada kesişir. Kesişim noktasını bulmak için her iki doğru denklemi birbirine eşitlenerek ortak çözüm yapılır. Parçalı fonksiyonların grafikleri ise her parçanın kendi tanım aralığındaki kurallara göre çizilip birleştirilmesiyle elde edilir.