Ünite 5: Regresyon ve Korelasyon Analizi

Regresyon Analizi

İki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkinin doğasını belirlemek ve geleceğe yönelik tahminler yapmak amacıyla kullanılan istatistiksel bir tekniktir.

Basit Doğrusal Model

Yi = α + βXi + εi şeklinde ifade edilir; burada α sabit terimi, β doğrunun eğimini, εi ise modelin hata terimini temsil eder.

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi

Gözlem değerleri ile kuramsal tahmin değerleri arasındaki farkların kareler toplamını minimum yapacak şekilde a ve b parametre tahminlerini belirler.

Normal Denklemler

EKK denklemlerinin çözümü için türevler alınarak elde edilen ΣYi = an + bΣXi ve ΣXiYi = aΣXi + bΣXi^2 şeklinde iki bilinmeyenli denklem sistemidir.

Anahtar Kavramlar

Bağımlı Değişken (Yi)Regresyon analizinde değeri açıklanmaya ve tahmin edilmeye çalışılan, bağımsız değişkene bağlı olarak değişen ana değişkendir. Metindeki örnekte ciro (Y) bağımlı değişken olarak ele alınmıştır.

Bağımsız Değişken (Xi)Bağımlı değişken üzerindeki değişimleri açıklamak veya tahmin etmekte kullanılan açıklayıcı değişkendir. Örneklerde müşteri sayısı (X) bağımsız değişken olarak kullanılmıştır.

Hata Terimi (εi)Regresyon modelinde gözlenen gerçek değer ile teorik modelin öngördüğü değer arasındaki farkı temsil eden rastgele bileşendir. Gerçek değer ile tahmin edilen değerin sapmalarını ifade eder.

Serpilme Diyagramıİki değişken arasındaki ilişkinin yapısını ve yönünü görsel olarak incelemek için gözlem ikililerinin kartezyen koordinat sisteminde noktalar olarak işaretlenmesiyle oluşturulan grafiktir.

En Küçük Kareler (EKK) YöntemiRegresyon modelindeki bilinmeyen parametre tahminlerini, gözlem değerleri ile tahmin edilen değerler arasındaki farkların kareler toplamını minimum yapacak şekilde bulmaya yarayan matematiksel yöntemdir.

Normal DenklemlerEKK yönteminde hata kareler toplamının minimum yapılması amacıyla kısmi türevlerin sıfıra eşitlenmesiyle elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemidir.

Regresyon Katsayısı (b)Basit doğrusal regresyon modelinde bağımsız değişken X'teki bir birimlik değişimin, bağımlı değişken Y'de ne kadarlık bir değişmeye yol açacağını gösteren eğim parametresidir.

Regresyon Sabiti (a)Doğrusal modelde bağımsız değişken sıfır (X=0) olduğunda regresyon doğrusunun dikey ekseni (Y eksenini) kestiği noktayı gösteren katsayıdır.

Hata Kareler Ortalaması (HKO)Hataların kareler toplamının (HKT) serbestlik derecesine (n-2) bölünmesiyle elde edilen ve hata varyansı (σ^2) için bir tahmin sağlayan istatistiktir.

Standart Hata (σ^)Hata kareler ortalamasının (HKO) karekökü alınarak elde edilen ve regresyon tahminlerinin güvenilirliğini ve sapma miktarını gösteren ölçüdür.

Pearson Korelasyon Katsayısı (r)İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin derecesini ve yönünü ölçen, -1 ile +1 arasında değer alan istatistiksel katsayısıdır.

Belirlilik Katsayısı (r^2)Pearson korelasyon katsayısının karesi olup, bağımlı değişkendeki değişimin yüzde kaçının bağımsız değişken tarafından açıklandığını gösteren katsayıdır.

Zaman Serisiİstatistiksel bir olayda gözlem değerlerinin zaman değişkeninin konumlarına göre (genellikle eşit aralıklarla) alt alta sıralanmasıyla elde edilen veri setidir.

Öngörü (Tahmin)Zaman serisi veya regresyon analizleri yardımıyla geçmişteki eğilimlerin gelecekte de süreceği varsayımı altında gelecekteki değerlerin tahmin edilmesidir.

TrendZaman serilerinde uzun dönemli genel eğilimi, artış veya azalış yönündeki ana hareketi gösteren bileşendir.

Diğer Önemli Bilgiler

Hata Kareler Ortalaması (HKO)

Hataların kareler toplamının serbestlik derecesine (n-2) bölünmesiyle elde edilir ve modelin ortak varyansı olan σ^2'nin bir tahminidir.

Regresyon Katsayısı Anlamlılık Testi

H0: β = 0 hipotezini test etmek için th = b / sb formülüyle t istatistiği hesaplanır; hesaplanan değer tablo değerinden büyükse H0 reddedilir.

Pearson Korelasyon Katsayısı (r)

İki nicel değişken arasındaki doğrusal ilişkinin derecesini ve yönünü inceler, her zaman -1 ile +1 arasında değerler alır.

Belirlilik Katsayısı (r^2)

Korelasyon katsayısının karesi olup, bağımlı değişkendeki değişmelerin ne kadarının bağımsız değişkendeki değişmelerle açıklanabileceğini gösterir.

Sınavda Dikkat Et

Regresyon sabitinin (a) ve eğiminin (b) formüllerini iyi ezberleyin; özellikle normal denklemlerin türetilme mantığını ve serbestlik derecesinin (n-2) neden 2 eksik olduğunu unutmayın.
Pearson korelasyon katsayısının her zaman -1 ile +1 arasında değer aldığını, asla bu sınırların dışına çıkamayacağını aklınızda bulundurun.
Belirlilik katsayısının (r^2) bulmak için korelasyon katsayısının (r) karesinin alınması gerektiğini, soruların bu pratikle çözüldüğünü unutmayın.
Zaman serisi grafiklerinde zaman değişkeninin daima yatay (apsis) eksende, gözlem değerlerinin ise dikey (ordinat) eksende yer aldığını karıştırmayın.
Regresyon katsayısının anlamlılık testinde H0: β = 0 hipotezinin reddedilmesinin, değişkenler arasında anlamlı bir doğrusal ilişki olduğunu kanıtladığını unutmayın.
b katsayısının işaretinin, regresyon doğrusunun eğim yönünü ve dolayısıyla korelasyonun pozitif veya negatif olduğunu doğrudan belirlediğine dikkat edin.