Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
Matematik felsefesinde 19. yüzyılın sonlarına doğru, özellikle Georg Cantor’un öncülük ettiği saf kümeler kuramında bazı temel çelişkilerin (paradoksların) varlığı fark edilmeye başlanmıştır. Cantor, 1895 gibi erken bir tarihte kendi kuramının bazı çelişkiler barındırdığını görmüş; iki yıl sonra Burali-Forti tarafından sonlu ötesi sıra sayılarıyla ilgili bir paradoks yayınlanmıştır. Daha da önemlisi, 1899 yılında Cantor, kendi ismiyle anılan ve kümeler kuramının temellerini sarsan daha basit bir paradoksu keşfetmiştir.
Cantor’un keşfettiği bu temel paradoks şu şekilde kurulur: Tüm kümelerin kümesi olan bir S kümesi varsayalım. Cantor'un kuvvet kümeleri kuramına göre, bir kümenin kuvvet kümesinin eleman sayısı, o kümenin kendisinden kesinlikle büyüktür (yani |𝒰(S)| > |S|). Ancak diğer yandan, 𝒰(S) zaten S’nin tüm alt kümelerinin kümesi olduğuna göre, bu kuvvet kümesi S'in bir alt kümesi (bölümü) olmalıdır; bu da mantıksal olarak |𝒰(S)| ≤ |S| eşitsizliğini doğurur. Ortaya çıkan bu bariz çelişki, o dönemdeki saf kümeler kuramının ve kümelerin varlığını varsayış biçiminin gözden geçirilmesini zorunlu kılmiştir.
Cantor'un bu çelişkileri fark etmesine rağmen, bu problemler 1903 yılına kadar geniş çapta yayınlanmamıştır. O yıl Gottlob Frege, ünlü eseri 'Grundgesetze'nin ikinci cildini, Bertrand Russell'dan Ekim 1902'de aldığı ve kendi sisteminin temelini sarsan bir mektubu içeren bir ek ile yayınlamıştır. Frege, eserinin V. Aksiyomu ile ilgili duyduğu kuşkuları zaten ilk cildin önsözünde belirtmiş olsa da, Russell'ın mektubu aritmetiğin mantıksal temellerine inilebilmesi konusunda çok daha derin bir kriz yaratmıştır.
Bertrand Russell tarafından keşfedilen ve kendi adıyla anılan Russell Paradoksu, matematik felsefesi tarihinin en sarsıcı gelişmelerinden biridir. Russell, bu paradoksu Frege’ye yazdığı mektupla iletmiştir. Paradoksun özü, 'kendisine ait olmayan sınıflar' kavramı üzerinden kurulur. Günlük hayatta kimse bir insanlar sınıfının kendisinin bir insan olduğunu iddia etmez; buradan hareketle bazı sınıflar kendilerinin birer elemanı değildir.
Russell, kaplamı 'kendisine ait olmayan sınıflar sınıfı' olan özel bir K sınıfı tanımlar. Bu durumda K sınıfının kendisine ait olup olmadığını incelediğimizde iki taraflı bir çıkmaza (çelişkiye) düşeriz: İlk olarak, K sınıfının kendisine ait olduğunu varsayarsak, bu durumda K sınıfı tanımı gereği kendisine ait olmamalıdır; bu ilk varsayımla çelişir. İkinci olarak, K sınıfının kendisine ait olmadığını varsayarsak, bu kez tanım gereği bu sınıfın kendisine ait olması gerekir ki bu da yine bir çelişki üretir.
Frege, Russell’dan gelen bu yıkıcı eleştiri karşısında başlangıçta karşılığı olmayan sınıflar kavramını önermeyi düşünmüş, ancak bu devrimci adıma alışamayarak V. Aksiyomunu değiştirmeyi denemiştir. Ne var ki, daha sonraki mantıkçılar Frege'nin bu yama niteliğindeki değişikliklerinin sistemini tutarsızlıktan kurtarmaya yetmediğini kanıtlamışlardır. Russell ise sonraları, çelişkilerin temel sebebinin mantıkçıların yüklemcil olmayan sınıfları dikkat etmeden kabul etmesi olduğunu savunmuştur.
Frege'den sonraki dönemeçte yalnızca Cantor ve Russell paradoksları değil, aynı zamanda sonlu dil ve tanımlanabilirlik ile ilgili yeni paradokslar da ortaya çıkmıştır. Örneğin J. Richard, Cantor’un çapraz yöntemini taklit ederek sonlu sayıda sözcükle tanımlanabilen ondalık kesirler üzerinden yeni bir paradoks öne sürmüştür. Henri Poincare, bu tür paradoksların temelinde 'yüklemcil olmayan' tanımların ve sonlu bir kümeyi tamamlanmış bir bütün olarak ele alma çabasının yattığını savunmuştur.
Bu ilginin yenilenmesiyle birlikte 20. yüzyılın başlarında yeni paradokslar keşfedilmiştir. Bunlardan biri Berry'nin paradoksudur; bu paradoks 'on dokuz heceden daha az heceyle adlandırılamayan en küçük tam sayı' ifadesiyle ilgilidir ve dil ile tanım arasındaki çelişkileri gözler önüne serer. Bir diğer önemli örnek ise Grelling'in paradoksudur; bu paradoks 'heteromantıksal' (kendisine uygulanmayan sıfatları niteleyen sıfat) sözcüğünün kendi kendine uygulanıp uygulanamayacağı sorusu üzerinden benzer bir mantıksal çıkmaz yaratır.
Bu sofizmlerin sonsuzluk kavramıyla doğrudan bir ilgisinin bulunmadığı, aksine saf mantıksal yapıdaki kısır döngülerden kaynaklandığı anlaşılmıştır. Russell, tüm bu krizleri aşmak ve aritmetiğin saf mantıkla özdeşliğini koruyabilmek amacıyla, kısır döngü ilkesine dayanan ve mantıksal paradoksları ortadan kaldırmayı hedefleyen ünlü Mantıksal Tipler Kuramı'nı geliştirmeye yönelmiştir.
Russell, 1903 tarihli 'Matematik İlkeleri' eserinde Frege'ninkine benzer bir şekilde aritmetik ile mantığın özdeş olabileceği ümidini taşımıştır. Ancak bu özdeşliğin kurulabilmesi için kümeler kuramındaki çelişkilerin rastgele kurallarla (ad hoc yasalarla) değil, sistemin mantıksal zorunluluklarından türeyen köklü bir yenilikle çözülmesi şarttı. Aksi takdirde hem aritmetiğin saf mantıkla bağı kopacak hem de yeni çelişkilerin ortaya çıkmasına karşı bir garanti kalmayacaktı.
Bu doğrultuda Russell, 1908 yılında yayınladığı 'Tipler Kuramına Dayandığı Şekliyle Matematiksel Mantık' adlı makalesinde ve ardından Principia Mathematica’nın girişinde Mantıksal Tipler Kuramı’nı sunmuştur. Bu kuram, kısır döngü ilkesinin doğrudan bir sonucu olarak tasarlanmıştır.
Mantıksal Tipler Kuramı'nın temel felsefi dayanağı, bir topluluğun tümünü içeren bir şeyin o topluluğun bireylerinden biri olmaması gerektiği kuralıdır. Frege'nin fonksiyon seviyelerini ayırmasına benzer şekilde, Russell da nesneleri, özellikler ve sınıfları hiyerarşik tiplere ayırarak, bir nesnenin kendi tipinden veya daha yüksek bir tipten bir öğeye yüklenmesini yasaklamıştır. Böylece Cantor ve Russell paradokslarının mantık sisteminde yeniden üretilmesi imkansız hale getirilmiştir.