Ünite 11: Frege’den Sonra Matematik Felsefesi 1 — Örnekler

Bir kütüphaneci, sadece kendi kataloğunda listelenmeyen tüm kitapların listesini içeren özel bir katalog hazırlamaya karar verir. Eğer bu kütüphaneci, hazırladığı bu özel listeyi kendi kataloğuna eklerse, liste artık kendi içinde listelenmiş olur ve tanım gereği listede olmaması gerekir. Eğer listeye eklemezse, tanım gereği listede olması gereken bir kitap eksik kalmış olur; bu durum Russell'ın 'kendisine ait olmayan sınıflar' paradoksuyla aynı mantıksal çıkmazı yaratır.

Bir yarışmada 'on heceden daha az heceyle tanımlanamayan en küçük tam sayı' ifadesini bir kağıda yazdığınızı düşünün. Bu ifade tam olarak dokuz heceden oluşmaktadır ve o tam sayıyı tanımladığı iddiasındadır. Ancak bu ifade, kendi tanımı gereği on heceden az heceyle tanımlanamayacak olan o sayıyı, on heceden daha az bir ifadeyle tanımlamış olur; bu da dilin kendi içindeki çelişkisini ortaya koyar.

Bir üniversitede öğrencilerin oluşturduğu gruplar ile bu grupların oluşturduğu bir 'Gruplar Birliği' olduğunu varsayalım. Russell'ın Mantıksal Tipler Kuramı'na göre, bir öğrenci grubu bir 'tip' oluştururken, Gruplar Birliği daha üst bir 'tip'tir ve bu birliğin kendisi bir öğrenci grubu olarak kabul edilemez. Böylece bir grubun kendi içinde bir alt küme olarak tanımlanması yasaklanarak, kümeler kuramındaki kısır döngülerin oluşması engellenmiş olur.