Ünite 11: Frege’den Sonra Matematik Felsefesi 1

Cantor'un 1895 Tarihli Çelişki Keşfi

Georg Cantor, 1895 gibi erken bir tarihte kendi geliştirdiği saf kümeler kuramının yapısal olarak bazı çelişkiler içerdiğini fark etmiştir. Bu erken tarihli sezgi, sonraları Burali-Forti ve bizzat Cantor'un kendi adıyla anılacak daha büyük paradoksların habercisi olmuştur.

Burali-Forti'nin 1897 Tarihli Paradoksu

Cantor'un kuramındaki çelişkilerin açığa çıkmasından iki yıl sonra, 1897'de Burali-Forti tarafından yayınlanan bu paradoks, sistemde yeterince hesaba katılamayan sonlu ötesi sıra sayıları ile doğrudan ilgilidir.

Ekim 1902 Tarihli Russell Mektubu

Bertrand Russell'ın Gottlob Frege'ye gönderdiği Ekim 1902 tarihli mektup, Frege'nin hayat eserinin temellerini sarsmış ve Frege Grundgesetze'nin ikinci cildine bu mektubun yarattığı krizi itiraf eden dramatik bir ek koymak zorunda kalmıştır.

Frege'nin V. Aksiyomu Krizi

Frege'nin aritmetiği mantık nesneleri üzerine kurma iddiasının dayandığı V. Aksiyom, diğer mantık yasalarının sahip olduğu apaçıklıktan yoksun olduğu için sistemin en zayıf halkası olmuş ve Russell paradoksunun bu noktadan sisteme girmesine yol açmıştır.

Anahtar Kavramlar

Russell ParadoksuBertrand Russell tarafından keşfedilen, kendisine ait olmayan sınıfların sınıfı (K sınıfı) üzerinden kurulan ve naif kümeler kuramının temelini sarsan mantıksal çelişkidir. K sınıfının kendisine ait olup olmadığı sorulduğunda hem 'ait' hem de 'ait değil' varsayımları kaçınılmaz bir çelişkiye yol açar.

Mantıksal Tipler KuramıRussell'ın kümeler kuramındaki ve mantıktaki paradoksları çözmek için geliştirdiği, bir topluluğun tümünü içeren nesnenin o topluluğun bir elemanı olamayacağını savunan hiyerarşik kuramdır. Bu kuram sayesinde nesneler ve fonksiyonlar farklı tiplere ayrılarak kısır döngüler engellenmiştir.

Kuvvet Kümesi (Power Set)Bir kümenin tüm alt kümelerinin oluşturduğu kümedir. Cantor'un kuramına göre, bir kuvvet kümesinin eleman sayısı, orijinal kümenin eleman sayısından her zaman büyüktür (|𝒰(S)| > |S|).

Burali-Forti Paradoksu1897'de yayınlanan ve sonlu ötesi sıra sayıları ile ilgili olan, Cantor'un kümeler kuramındaki ilk bilinen çelişkilerden biridir. Kuramın kendi içinde barındırdığı yapısal sorunları gün yüzüne çıkarmıştır.

Yüklemcil Olmayan (Non-predicative)Bir kavram altındaki bir nesneyi, o kavram altındaki tüm olası nesnelerin toplamına gönderme yapmak suretiyle ayırma anlamına gelen ve kümeler kuramında kısır döngülere (paradokslara) yol açtığı düşünülen tanım türüdür.

Berry ParadoksuOn dokuz heceden daha az heceyle adlandırılamayan en küçük tam sayı ifadesiyle ilgili olan ve dilin kendi kendini referans vermesinden doğan bir mantık paradoksudur.

Grelling ParadoksuKendisine uygulanmayan sıfatları nitelemek için türetilen 'heteromantıksal' sözcüğünün kendi kendine uygulanıp uygulanamayacağı sorusu üzerinden şekillenen, sonsuzlukla ilgisi olmayan bir mantık paradoksudur.

GrundgesetzeGottlob Frege’nin aritmetiğin mantıksal temellerini kurmaya çalıştığı, ancak ikinci cildine Russell'ın mektubundaki paradoksu eklemek zorunda kaldığı temel eseridir.

Yalancı Paradoksu (Epimenides Paradoksu)Giritli Epimenides'in 'Tüm Giritliler yalancıdır' önermesiyle özdeşleşen, öz-gönderimsel yapıdan kaynaklanan ve Orta Çağ'da 'Insolubilia' olarak incelenen klasik mantık paradoksudur.

Kısır Döngü İlkesiParadoksların kaynağının kendi kendine üretken olan döngülerden kaynaklandığını belirten ve 'bir topluluğun tümünü içeren şey, o topluluktan biri olmamalıdır' kuralına dayanan ilkedir.

Diğer Önemli Bilgiler

J. Richard'ın 1904 Sonrası Ondalık Kesir Paradoksu

Cantor'un çapraz yöntemini taklit eden J. Richard, sonlu sayıda sözcükle tanımlanabilen ondalık kesirlerin oluşturduğu küme üzerinden, tüm kümeye gönderimde bulunularak yapılan tanımların yarattığı yeni bir paradoks öne sürmüştür.

Principia Mathematica'nın Yayınlanması

Russell tarafından 1910 yılında (ve öncesindeki makalelerin ardından) geliştirilen Mantıksal Tipler Kuramı'nın en kapsamlı ve sistematik sunumu, Principia Mathematica adlı eserin ilk basımının girişinde yer almıştır.

A. Rüstow'un 1910 Tarihli Yalancı İncelemesi

Mantık paradokslarına olan ilginin yeniden canlandığı bu dönemde, 1910 yılında A. Rüstow tarafından yazılan 'Der Lügner, Theorie, Geschichte und Auflösung' adlı eser, Eubulides'in Yalancı paradoksunun tarihini ve çözüm teorilerini kapsamlı bir şekilde incelemiştir.

Sınavda Dikkat Et

Cantor'un 1899 paradoksunun tüm kümelerin kümesi (S) ve kuvvet kümesi (𝒰(S)) arasındaki boyutsal çelişkiye dayandığını unutmayın.
Russell Paradoksu'nun 'kendisine ait olmayan sınıfların sınıfı' (K sınıfı) üzerinden kurulduğunu ve hem ait olma hem de olmama durumunda çelişki ürettiğini iyi kavrayın.
Frege'nin Grundgesetze eserinin ikinci cildine eklediği mektubun Bertrand Russell'a ait olduğunu ve bu mektubun V. Aksiyom'u sarstığını karıştırmayın.
Richard, Berry ve Grelling paradokslarının sonsuzluk kavramıyla doğrudan bir ilgisi olmadığını, daha çok dil, tanım ve kısır döngülerle ilgili olduğunu unutmayın.
Henri Poincare'nin paradoksların kaynağını 'yüklemcil olmayan' tanımlar ve sonlu kümeyi bütün olarak ele alma çabasında aradığını hatırlayın.
Russell'ın Mantıksal Tipler Kuramı'nı 'kısır döngü ilkesine' dayandırdığını ve bir topluluğu içeren şeyin o topluluğun bireyi olamayacağını savunduğunu dikkate alın.