Doğrusal denklem sistemleri, bilinmeyenlerin derecesinin 1 olduğu ve geometrik olarak düzlemde doğruları temsil eden denklemlerin bir araya gelmesiyle oluşur. İki bilinmeyenli bir sistemde, iki doğrunun kesişim noktası (x, y), sistemin çözümünü verir. Eğer doğrular tek bir noktada kesişiyorsa sistemin tek bir çözümü vardır; doğrular paralelse çözüm yoktur, çakışıksa sonsuz çözüm vardır. Sistemleri çözmek için kullanılan temel yöntemlerden biri 'yerine koyma' yöntemidir. Bu yöntemde, denklemlerden birinden bilinmeyenlerden biri çekilir ve diğer denklemde yerine yazılarak sistem tek bilinmeyenli bir denkleme indirgenir. Bu sayede bulunan değer, diğer bilinmeyeni bulmak için kullanılır. Bir diğer yöntem olan 'yok etme' yönteminde ise, bilinmeyenlerin katsayıları eşitlenir veya zıt işaretli hale getirilir. Denklemler taraf tarafa toplanarak veya çıkarılarak bir bilinmeyen yok edilir. Bu yöntem, özellikle katsayıları uygun sayılarla çarparak sadeleştirme yapmaya olanak tanıdığı için oldukça pratiktir. Matrisler, denklem sistemlerindeki katsayıların düzenli bir tablo halinde gösterilmesidir. Bir matriste yatay sıralara 'satır', dikey sıralara 'sütun' denir. Denklem sisteminin katsayılarından oluşan matrise 'katsayılar matrisi', eşitliğin sağ tarafındaki sabit sayıların da eklenmesiyle oluşan matrise ise 'genişletilmiş matris' adı verilir. Matrisler üzerinde üç temel satır işlemi uygulanabilir: iki satırın yerini değiştirmek, bir satırı sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak veya bir satırı bir sayıyla çarpıp başka bir satıra eklemek. Bu işlemler, sistemin çözümünü değiştirmeden matrisi basamaklı hale getirerek bilinmeyenlerin kolayca bulunmasını sağlar. Matrislerde toplama ve çıkarma işlemleri sadece aynı boyuttaki matrisler arasında yapılabilir ve karşılıklı elemanlar toplanır/çıkarılır. Bir matrisin bir k sayısı ile çarpımı, matrisin her bir elemanının o sayıyla çarpılması anlamına gelir. Tüm elemanları sıfır olan matrislere 'sıfır matrisi' denir ve toplama işleminin etkisiz elemanıdır. Matris çarpımı, birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunlarının karşılıklı çarpılıp toplanmasıyla elde edilir. Bir matrisin çarpılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısının, ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerekir. Matris çarpımında değişme özelliği yoktur; yani genel olarak A·B, B·A'ya eşit değildir. Kare matrisler, satır ve sütun sayıları birbirine eşit olan matrislerdir. Birim matris (I), köşegen üzerindeki elemanları 1, diğerleri 0 olan özel bir kare matristir ve matris çarpımında etkisiz eleman görevi görür. Bir A matrisi için A·B = B·A = I şartını sağlayan B matrisine, A'nın 'çarpımsal tersi' denir. Denklem sistemleri, matris çarpımı kullanılarak AX = B şeklinde ifade edilebilir. Burada A katsayılar matrisi, X bilinmeyenlerin sütun matrisi, B ise sabitlerin sütun matrisidir. Bu gösterim, karmaşık sistemlerin bilgisayar destekli veya matris cebiri yöntemleriyle çözülmesini kolaylaştırır.