Ünite 6: Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

Babil Matematik Metinleri

Hammurabi dönemine (MÖ 1795-1750) ait çivi yazılı metinler, Babillilerin denklem sistemlerini çözebildiğini gösterir. Bu metinlerde 'bûr' ve 'gur' gibi birimler kullanılmıştır.

60'lık Sayı Sistemi

Babilliler matematiksel hesaplamalarında 60'lık sayı sistemini kullanmışlardır. Örneğin 30,0 ifadesi 30 x 60 = 1800 değerine karşılık gelir.

Diyet Problemi Örneği

Öğle yemeğinde 8 gr protein ve 36 gr karbonhidrat alması gereken birinin, 2 gr protein/12 gr karbonhidrat içeren ekmek ve 4 gr protein/12 gr karbonhidrat içeren çorba tüketimi denklemle çözülmüştür.

Çemberlerin Yarıçapı Problemi

Birbirine teğet olan üç çemberin merkezleri arası uzaklıklar 16, 18 ve 10 br verilerek, yarıçapların toplamı üzerinden üç bilinmeyenli bir sistem kurulmuştur.

Anahtar Kavramlar

Doğrusal Denklem SistemiBilinmeyenlerin derecesinin 1 olduğu ve ortak çözüm aranan denklem grubu. Örneğin; 2x + 4y = 8 ve 12x + 12y = 36 sistemi.

Katsayılar MatrisiBir denklem sistemindeki bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan matris. Örneğin; 2x+4y=8 denkleminde [2 4] katsayılar matrisinin bir satırıdır.

Genişletilmiş MatrisKatsayılar matrisinin yanına eşitliğin sağ tarafındaki sabitlerin sütun olarak eklenmesiyle oluşan matris.

Satır MatrisiSadece tek bir satırdan oluşan matris yapısı.

Sütun MatrisiSadece tek bir sütundan oluşan matris yapısı.

Kare MatrisSatır ve sütun sayıları birbirine eşit olan matrisler. 2x2 veya 3x3 gibi.

Sıfır MatrisiTüm elemanları sıfır olan, toplama işleminin etkisiz elemanı olan matris.

Birim MatrisKöşegen elemanları 1, diğer tüm elemanları 0 olan kare matris. Matris çarpımında etkisiz elemandır.

Matrisin TersiBir A kare matrisi için A·B = I olacak şekildeki B matrisi. A üzeri -1 ile gösterilir.

Yerine Koyma YöntemiBir denklemden bir değişkeni çekip diğerinde yerine yazarak sistemi çözme yöntemi.

Yok Etme YöntemiKatsayıları eşitleyerek denklemleri taraf tarafa toplayıp bir değişkeni yok etme yöntemi.

Matris BoyutuMatrisin satır ve sütun sayısını belirten ifade (mxn).

Çakışık DoğrularDenklem sistemindeki doğruların aynı olması durumu; sistemin sonsuz çözümü vardır.

Paralel DoğrularEğimleri aynı ancak kesişmeyen doğrular; sistemin çözüm kümesi boştur.

Matris ElemanıMatrisin içindeki her bir sayısal değer.

Basamaklı MatrisSatır işlemleriyle elde edilen, alt üçgeni sıfırlanmış matris formu.

Sıralı ÜçlüÜç bilinmeyenli sistemlerin (x, y, z) şeklindeki çözüm kümesi.

Matris ÇarpımıBirinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunlarının çarpılıp toplanması işlemi.

Değişme ÖzelliğiMatris çarpımında A·B'nin B·A'ya eşit olmaması durumu.

AX = BDoğrusal denklem sistemlerinin matris formunda yazılışı.

Diğer Önemli Bilgiler

Gider Hesaplama Matrisi

Apartmandaki 4 dairenin elektrik, su ve doğalgaz giderlerinin toplamı, birim fiyat matrisi ile tüketim matrisinin çarpımıyla kolayca hesaplanmıştır.

O. Neugebauer'in Eseri

Matematik tarihçisi O. Neugebauer, 'Mathematische Keilschrifttexte' adlı eserinde Babil çivi yazılı matematik metinlerini incelemiştir.

Birim Dönüşümleri

Babil metinlerinde 1 gur = 300 sila, 1 bùr = 30,0 SAR olarak tanımlanmış ve bu birimler denklem çözümlerinde kullanılmıştır.

Katsayılar Matrisi Örneği

x+y-z=6, 2x-y+3z=11 ve 4x+2y-3z=14 sisteminde katsayılar matrisi 3x4 boyutunda bir tablo olarak ifade edilmiştir.

Matris İşlemleri Kısıtı

Matrislerin toplanabilmesi için boyutlarının aynı olması, çarpılabilmesi için ise ilk matrisin sütun sayısının ikincinin satır sayısına eşit olması gerekir.

Sıfır Matrisi Etkisi

Sıfır matrisi (O), aynı boyuttaki matrislerle toplandığında etkisiz eleman görevi görür; A + O = A eşitliği geçerlidir.

Havaalanı Uçuş Seçenekleri

K, L, M ülkeleri arasındaki uçuş hatları ve günlük uçuş sayıları, matris çarpımı ile aktarmalı uçuş seçeneklerini hesaplamak için kullanılmıştır.

Kare Matris Örneği

A = [[1, 2], [0, 3]] matrisi 2x2 boyutunda bir kare matristir ve tersi hesaplanabilir bir matristir.

Birim Matrisin Özelliği

I = [[1, 0], [0, 1]] matrisi, herhangi bir A matrisi ile çarpıldığında A·I = I·A = A sonucunu veren özel bir kare matristir.

Sıfır Çözümlü Sistem

3x+5y+7z=10, 2x+4y-z=6 ve 2x+4y-z=7 sisteminde, son iki denklemin sol tarafları aynı sağ tarafları farklı olduğu için çözüm yoktur.

Sınavda Dikkat Et

Matris çarpımında satır ve sütun sırasına dikkat edin; çarpım değişme özelliği göstermez (A·B ≠ B·A).
Denklem sistemlerini matris formuna (AX=B) dönüştürürken katsayıların işaretlerini (negatif/pozitif) atlamayın.
Yok etme yönteminde denklemi bir sayıyla çarparken sadece sol tarafı değil, eşitliğin sağ tarafını da çarpmayı unutmayın.
Birim matris (I) ile çarpılan her matris kendisini verir; bu özellik matris tersi işlemlerinde hayat kurtarır.
Sistemde çözüm yoksa, denklemlerin katsayı oranlarının eşit ancak sabitlerin oranının farklı olduğunu kontrol edin.
Matrislerde satır işlemleri yaparken, işlemin tüm satıra uygulandığından emin olun.