Ünitenin tamamını tek sayfada görPremium
Türev, bir niceliğin başka bir niceliğe göre değişim oranını ifade eden temel bir matematiksel kavramdır. Tarihsel süreçte gök cisimlerinin hareketlerini ve konum değişimlerini modelleme ihtiyacı, türevin gelişimine öncülük etmiştir. Sir Isaac Newton, bu kavramı matematiğe kazandırarak hareket yasalarının ve fiziksel değişimlerin analiz edilmesini mümkün kılmıştır.
Türevi anlamak için 'ortalama hız' kavramından yola çıkmak gerekir. Bir cismin [t1, t2] zaman aralığındaki ortalama hızı, alınan yolun (konum fonksiyonu f(t)) geçen süreye oranıdır: vort = [f(t2) - f(t1)] / (t2 - t1). Bu formül, zaman aralığı küçüldükçe, yani t2, t1'e yaklaştıkça, anlık hıza doğru evrilir.
Anlık hız, ortalama hızın limit durumudur. h = t2 - t1 olmak üzere, h sıfıra yaklaşırken ortalama hızın limiti, o noktadaki anlık hızı (değişim hızını) verir. Bu limit ifadesi, türevin matematiksel tanımının temelini oluşturur: f'(x0) = lim (h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h.
Her fonksiyonun türevini limit tanımıyla hesaplamak oldukça zahmetlidir. Bu nedenle, temel fonksiyonlar için türev kuralları geliştirilmiştir. Sabit bir fonksiyonun (f(x)=c) türevi her zaman 0'dır, çünkü sabit değerlerin değişim hızı yoktur. Birim fonksiyonun (f(x)=x) türevi ise 1'dir.
Kuvvet fonksiyonları için (f(x)=x^n) genel kural f'(x) = n*x^(n-1) şeklindedir. Bu kural, r gerçel sayıları için de geçerlidir. Fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü için de özel kurallar mevcuttur. Özellikle çarpımın türevi, türevlerin çarpımı değildir; (f*g)' = f'*g + f*g' formülü uygulanır.
Bölümün türevi ise [(f/g)'] = (f'*g - f*g') / g^2 şeklinde hesaplanır. Zincir kuralı (bileşke fonksiyonların türevi) ise (f ◦ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x) olarak tanımlanır. Bu kurallar, karmaşık fonksiyonların türevlerini hızlı ve hatasız bir şekilde bulmamızı sağlar.
Türevin geometrik anlamı, bir eğriye belirli bir noktada çizilen teğet doğrusunun eğimidir. (x0, f(x0)) noktasından geçen ve eğimi f'(x0) olan teğet doğrusunun denklemi y - f(x0) = f'(x0) * (x - x0) formülü ile bulunur. Bu, fonksiyonun o noktadaki yerel değişim eğilimini görselleştirir.
Birinci türevin türevi, ikinci mertebeden türevdir (f''). Fizikte konumun birinci türevi hızı, ikinci türevi ise ivmeyi (hızın değişim hızı) verir. Newton'un ikinci hareket yasası (F=m*a), ivme kavramı üzerinden türevin fiziksel önemini vurgular.
İkinci türev, fonksiyonun grafiğinin bükülme yönü hakkında bilgi verir. Eğer f''(x) > 0 ise fonksiyonun artışı hızlanmaktadır (grafik yukarı doğru kıvrılır), f''(x) < 0 ise artış yavaşlamaktadır (grafik aşağı doğru kıvrılır).
Bir fonksiyonun türevinin işareti, fonksiyonun artan veya azalan olduğunu belirler. Bir aralıkta f'(x) > 0 ise fonksiyon artan, f'(x) < 0 ise azalandır. Bu bilgi, özellikle iktisadi uygulamalarda (örneğin gelir maksimizasyonu) kritik öneme sahiptir.
Yerel maksimum ve minimum noktaları (ekstremum noktalar), fonksiyonun yön değiştirdiği noktalardır. Bu noktalarda genellikle f'(x) = 0 olur. Ancak her türevi sıfır olan nokta ekstremum değildir (örneğin f(x)=x^3); ayrıca türevin olmadığı köşeli noktalarda da ekstremum olabilir (örneğin f(x)=|x|).
Ekstremum noktalarını bulmak için türev sıfıra eşitlenir ve fonksiyonun o noktadaki davranışı incelenir. İktisadi bir örnekte, marjinal gelir fonksiyonunun (gelir fonksiyonunun türevi) sıfır olduğu nokta, toplam gelirin en yüksek olduğu üretim miktarını verir.