Ders kitabının açık uçlu alıştırmaları. Bunlar çoktan seçmeli sınav sorusu değil — düşünmeni, araştırmanı, kendi cümlelerinle anlatmanı isteyen etkinlikler. Kitabın verdiği örnek yanıtlar kapalı duruyor; önce kendin dene.
Alıştırma 1myders hazırladı
Ortalama hız ile anlık hız kavramları arasındaki farkı limit kavramı çerçevesinde açıklayarak karşılaştırınız.
Yanıt / ipucu
Ortalama hız belirli bir zaman aralığındaki konum değişiminin geçen süreye oranıdır. Anlık hız ise zaman aralığının sıfıra yaklaştığı durumdaki limit değeridir ve türevin temel tanımını oluşturur.
Alıştırma 2myders hazırladı
Çarpımın türevi kuralını kullanarak f(x) = x^2 ve g(x) = x^3 fonksiyonlarının çarpımının türevini adım adım hesaplayınız ve kuralın geçerliliğini inceleyiniz.
Yanıt / ipucu
Çarpım kuralına göre (f*g)' = f'*g + f*g' formülü uygulanır. Buradan (2x)*(x^3) + (x^2)*(3x^2) = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4 bulunur (x^5 fonksiyonunun türevi ile aynı sonucu verir).
Alıştırma 3myders hazırladı
Bir cismin konum fonksiyonunun birinci ve ikinci türevlerinin fiziksel anlamlarını (hız ve ivme) açıklayıp ikinci türevin grafiğin bükülme yönüyle ilişkisini değerlendiriniz.
Yanıt / ipucu
Konumun birinci türevi anlık hızı, ikinci türevi ise ivmeyi ifade eder. İkinci türev sıfırdan büyükse (f'' > 0) grafik yukarı doğru kıvrılır ve artış hızlanır; sıfırdan küçükse (f'' < 0) grafik aşağı kıvrılır ve artış yavaşlar.
Alıştırma 4myders hazırladı
Türevin sıfır olduğu her noktanın bir ekstremum (maksimum/minimum) noktası olmadığını f(x) = x^3 fonksiyonu üzerinden açıklayınız.
Yanıt / ipucu
f(x) = x^3 fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevi sıfırdır (f'(0) = 0), ancak bu nokta bir maksimum veya minimum noktası değildir. Ekstremum noktası olması için fonksiyonun o noktada yön değiştirmesi gerekir.
Alıştırma 5myders hazırladı
Türevin iktisadi uygulamalarındaki önemini açıklayarak marjinal gelir fonksiyonu ile toplam gelirin maksimizasyonu arasındaki ilişkiyi tartışınız.
Yanıt / ipucu
Gelir fonksiyonunun türevi olan marjinal gelir, gelirin değişim hızını gösterir. Marjinal gelirin sıfıra eşit olduğu nokta, türevin işareti değiştirdiği yerel maksimum noktası olduğu için toplam gelirin en yüksek olduğu üretim miktarını verir.
